6.2.3 平面向量的坐标及其运算-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第二册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

6.2.3　平面向量的坐标及其运算 数学 学习目标 1.通过学习平面直角坐标系内两点之间的距离,中点坐标公式,并掌握其应用,培养数学运算核心素养. 2.通过学习向量平行的坐标表示,并掌握灵活应用,培养逻辑推理、数学运算、数形结合核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.平面向量的坐标 (1)向量垂直:平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,我们就称向量a与b ,记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直. (2)向量的正交分解: 如果平面向量的基底{e1,e2}中,e1⊥e2,就称这组基底为 .在正交基底下向量的分解称为向量的 . (3)一般地,给定平面内两个相互垂直的单位向量e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称 为向量a的坐标,记作a= . 垂直 正交基底 正交分解 (x,y) (x,y) 数学 思考1:点的坐标与向量的坐标的联系与区别是什么? 答案: 区别 表示形 式不同 向量a=(x,y)中间用等号连接,而点 A(x,y)中间没有等号 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y) 联系 当平面向量的始点在原点时,平面向量的坐标与向量终点坐标相同 数学 2.平面上向量的运算与坐标的关系 若平面上两个向量a,b满足a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)a=b的充要条件是 . (2)a+b= ; ua+vb= ; ua-vb= . (3)|a|= . 思考2:平面上向量坐标的运算适合多个向量吗? 答案:适合.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3),则a+b+c=(x1+x2+x3,y1+y2+y3), a+b-c=(x1+x2-x3,y1+y2-y3). x1=x2且y1=y2 (x1+x2,y1+y2) (ux1+vx2,uy1+vy2) (ux1-vx2,uy1-vy2) 数学 思考3:平面向量与有序实数对的对应关系是什么? 数学 (3)设线段AB的中点为M(x,y),则x= ,y= . 答案:向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关. (x2-x1,y2-y1) 数学 4.向量平行的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔ . 思考5:若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线,则A,B,C的坐标之间的关系是什么呢? x2y1=x1y2 数学 拓展总结 数学 数学 师生互动·合作探究 探究点一 求向量的坐标 [例1] 已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,则向量a的坐标为(　　) A.(4e1,3e2) B.(4e1,-3e2) C.(4,3) D.(4,-3) 解:由向量坐标的定义可知,向量a的坐标为(4,-3).故选D. 数学 方法总结 求向量坐标的方法:(1)用互相垂直的单位向量e1,e2表示待求向量,例如a=xe1+ye2,则a=(x,y).(2)平移法,把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.(3)用表示向量的有向线段的终点的相应坐标减去始点的相应坐标. 数学 数学 探究点二 平面向量的坐标运算及应用 解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b=3(5,-5)+(-6,-3)=(15-6,-15-3)=(9,-18). 数学 数学 方法总结 向量用坐标表示后,向量的线性运算都可以用坐标来进行,使得向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这样许多几何问题就可以转化为熟知的数量运算. 数学 针对训练:已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-6b,求|c|. 数学 探究点三 向量平行的坐标表示及应用 数学 数学 数学 方法总结 主要利用共线向量的坐标运算,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b ⇔x1y2=x2y1. 数学 针对训练:(1)(2021·陕西宝鸡期中)向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x,1),若3a-b与c共线,则x等于(　　) A.1 B.-3 C.-2 D.-1 (1)解析:向量a=(1,0),b=(2,1),c=(x