2.1.3 方程组的解集-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

2.1.3　方程组的解集 数学 学习目标 1.理解消元法解方程组的思想,会用消元法解二元一次方程组、三元一次方程组,提高数学抽象、数学运算的核心素养. 2.掌握解三元一次方程组过程中三元化二元或一元的基本思路,进一步体会“消元”思想,提高直观想象的核心素养. 3.理解消元法解二元二次方程组的基本思路,会解简单的二元二次方程组.在特定语境中能正确列出方程组,提高数学运算的核心素养. 4.通过求方程组的解集,提升数据分析、数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 方程组的解集 (1)一般地,将多个方程联立,就能得到方程组.方程组中,由每个方程的 得到的 称为这个方程组的 . 思考:方程组的解集中的元素一定是方程组中的每一个方程的解,对吗? 答案:对,方程组的解集是由每个方程的公共解构成的,所以方程组的解集中的元素一定是方程组中的每一个方程的解. (2)当方程组中未知数的个数 方程的个数时,方程组的解集可能含有 . 元素.此时,如果将其中一些未知数看成 ,那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 知识梳理·自主探究 知识探究 解集 交集 解集 大于 无穷多个 常数 数学 拓展总结 解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元和降次”.基本方法有代入法、因式分解法、利用一元二次方程根与系数关系、加减法、换元法等方法.简单的二元二次方程组主要有两类:第一类是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,第二类是由一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组. (1)解第一类的主要思路是将二元一次方程变形后,用代入消元法将二元二次方程转化为一元二次方程,从而求解. (2)解第二类的主要思路是想办法将可分解为两个二元一次方程的二元二次方程分解出来,从而转化为简单的二元二次方程组的解法(第一类)或直接转化为二元一次方程组. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 解二元(三元)一次方程组 解:(1)法一　①+②,得6x=12,所以x=2. 把x=2代入②,得3×2+7y=13,所以y=1. 所以原方程组的解集为{(2,1)}. 法二　①-②,得-14y=-14,所以y=1. 把y=1代入①,得3x-7×1=-1,所以x=2. 所以原方程组的解集为{(2,1)}. 数学 数学 数学 方法总结 (1)解二元一次方程组时,用加减消元法消去一个未知数,再求解. (2)解三元一次方程组时,注意代入法的应用,即通过代入,将三元一次方程变为二元一次方程的求解问题. 数学 解:(1)将y=7-2x代入3x-2y=14, 得7x-14=14,解得x=4,代入2x+y=7, 得y=-1,故原方程组解集为{(4,-1)}. 数学 数学 解:法一　由①和②,得x∶y∶z=3∶2∶5. 设x=3k,y=2k,z=5k(k≠0), 并代入③,得5k+3k+2k=20,解得k=2. 所以x=3k=6,y=2k=4,z=5k=10. 所以这个三元一次方程组的解集为{(6,4,10)}. 数学 数学 探究点二 求解二元二次方程组 角度一　二元一次方程与二元二次方程构成的方程组的解集 数学 角度二　二元二次方程与二元二次方程联立所得方程组的解集 数学 方法总结 (1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤 ①由二元一次方程变形为用x表示y的方程或用y表示x的方程(*); ②把方程(*)代入二元二次方程,得一个一元二次方程; ③解消元后得到的一元二次方程; ④把一元二次方程的根,代入变形后的二元一次方程(*),求相应的未知数的值. (2)解二元二次方程组的注意点 ①消x还是消y,应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数,那么最好消去系数绝对值较小的,如x-2y+1=0,可以消去x,变形得 x=2y-1,再代入消元. ②消元后,求出一元二次方程的根,应代入二元一次方程求另一未知数的值,不能代入二元二次方程求另一未知数的值,因为这样可能产生增根. 数学 数学 数学 数学 探究点三 方程组的实际应用 [例4] 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶,行驶中有一坡度均匀的小山,该汽车从甲地到乙地需要2.5 h,从乙地到甲地需要2.3 h.假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km, 则从甲地到乙地的过程中,上坡路、平路、下坡路的长度各是多少? 数学 方法总结 列方程组解应用题的一般步骤 (1)审:认真审题,分清题中的已知量、未知量,并明确它们之间的等量 关系. (2)设:恰当地设未知数. (3)列:依据题中的等量关系列出方程组. (4)解:解方程组,求出未知数的值. (5)验:检验所求得的未