第二章 2.2 函数的表示法-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

2.2　函数的表示法 学习目标 1.掌握函数的三种表示法,体会三种表示法的作用,提升学生的数学抽象的核心素养. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 　问题:(1)我国已经建成的京沪高速铁路总长约为 1 318 km,设计速度目标值为380 km/h,若京沪高速铁路时速按300 km/h计算,列车行驶x h后,路程为y km,则y与x之间构成函数关系y=300x,其中y=300x称为y与x之间的函数关系式; (2)如图是我国人口出生率变化曲线: (3)如表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表: 污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 根据初中所学知识,请判断(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的? 提示:解析法、图象法和列表法. 1.函数的表示方法 函数的表示方法通常有解析法、列表法和图象法. (1)一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法. (2)用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法,称为列表法. (3)用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法. 思考1:是否所有的函数都有三种表示方法呢? 提示:不是,有些函数无法写出其解析式. 思考2:任何一个函数都可以用列表法表示吗? 提示:若一个函数的定义域是连续的数集,则函数就不能用列表法表示. 思考3:任何一个函数都可以用图象法表示吗? 提示:有些函数是不能画出图象的, 如f(x)= 2.分段函数 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数. 思考4:分段函数有多段,那么它是多个函数吗? 提示:分段函数是一个函数而不是多个函数. 函数三种表示法的优缺点比较 列表法与图象法表示函数 [例1] (1)已知函数y=f(x),用列表法表示如表: x -2 -1 0 1 2 y 1 0 -2 2 -1 则f(-2)+f(f(-2))等于(　　) A.-4 B.0 C.2 D.3 (2)在下列选项中,不是函数的图象的是(　　) 解析:(1)由题中表格可得,f(-2)=1, 所以f(f(-2))=f(1)=2, 所以f(-2)+f(f(-2))=3.故选D. (2)对于A选项,当-1<x<1时,一个x对应两个y,所以A选项中的图象不是函数的图象;B,C,D选项中的图象满足函数的定义,因此是函数的图象.故选A. (1)利用列表法研究函数,主要是通过表格中的自变量对应的函数值的特征求解. (2)判断一个平面直角坐标系下的图形能否确定为y是x的函数的一个方法是任作一条垂直于x轴的直线(x=a),若该直线与其图形至多有一个交点,则由该图形能确定y是x的函数(当a是定义域内的值时,只有一个交点,当a不是定义域内的值时没有交点). 针对训练:已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则g(f(2))的值为　　　　,f(g(2))的值为　　　　.  x 1 2 3 f(x) 3 2 1 解析:由题中图象可知,g(2)=1, 由题中表格可知,f(2)=2,f(1)=3, 则g(f(2))=g(2)=1,f(g(2))=f(1)=3. 答案:1　3 解析法表示函数 角度1　待定系数法求函数解析式 [例2] 若函数f(x)是二次函数,且满足2f(x+2)-f(x-1)=x2+11x+13.求函数f(x)的解析式. 解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c=ax2+(4a+b)x+4a+2b+c. 又f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2-(2a-b)x+a-b+c. 所以2f(x+2)-f(x-1)=ax2+(10a+b)x+7a+5b+c, 所以ax2+(10a+b)x+7a+5b+c=x2+11x+13, 所以解得 所以f(x)=x2+x+1. 待定系数法求函数解析式 已知f(x)的结构特征,求f(x).一般用“待定系数法”求解,设出f(x)的表达式,由已知条件列出关于f(x)中未知参数的方程组,解方程组求出未知数.一般地,一次函数设为f(x)=kx+b(k≠0),二次函数设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 针对训练:已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)等于(　　) A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x-3 解析: