第一章 4.3 一元二次不等式的应用-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

4.3　一元二次不等式的应用 学习目标 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习,提升数学运算素养. 2.借助一元二次不等式的应用提升数学建模素养. 问题:由符号法则,我们知道>0⇔ab>0,那么>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?将>0变形为(x-3)(x+2)>0,有什么意义? 提示:等价.将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式,体现了等价转化的数学思想. 1.分式不等式的解法 类型 同解不等式 >0 (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二:(ax+b)(cx+d)>0 ≥0 (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二: >k (其中a,b,c,d,k为常数) 先移项转化为 >0,再求解 对于分式不等式的其他类型,可仿照上述方法求解. 2.利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题中的未知数; (2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组); (3)求解所列出的不等式(组); (4)结合题目的实际意义确定答案. 分式不等式的解法 [例1] 解下列不等式. (1)≥0; (2)>4. 解:(1)不等式≥0等价于 解不等式组得-1≤x<3, 故原不等式的解集为{x|-1≤x<3}. (2)不等式>4等价于-4>0. 即>0,整理得>0, 即(x-3)(x+1)>0, 解不等式得x<-1或x>3. 故原不等式的解集为{x|x<-1或x>3}. 分式不等式的一般解题步骤 (1)移项并通分合并,不等式右侧化为“0”. (2)转化为同解的整式不等式. (3)解整式不等式. 针对训练:解下列不等式. (1)≥1; (2)>1. 解:(1)法一　原不等式等价于-1≥0, 即≥0.该不等式等价于 所以不等式的解集为{x|x≤-3或x>2}. 法二　因为x-2≠0,因此原不等式等价于或 解得x>2或x≤-3. 故原不等式的解集为{x|x≤-3或x>2}. (2)原不等式等价于 即 故原不等式的解集为{x|0<x<1或1<x<3}. 一元二次不等式的实际应用 [例2] 某种商品原来定价为每件p元,每月将卖出n件.若定价上涨x成(x成即,0<x≤10),每月卖出数量将减少y成,而售货金额变成原来的z倍.若y=x, 探求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围. 解:依题意,涨价后的售货金额为 npz=p(1+)·n(1-), 按实际情况需满足z>1才合算, 所以np(1+)(1-)>np. 因为n>0,p>0,y=x, 所以(1+)(1-x)>1, 整理得x2-5x<0,解得0<x<5. 又因为0<x≤10,所以0<x<5. 故x的取值范围是(0,5). 求解一元二次不等式的实际应用问题的一般思路 (1)设未知数,列一元二次不等式. (2)化成标准形式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a>0. (3)解方程ax2+bx+c=0. (4)画出函数y=ax2+bx+c的图象. (5)借助图象求一元二次不等式的解集,并合理取舍. (6)下结论写明答案,注意有无单位. 针对训练:一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:y=-20x2+2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60 000 元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 解:设这家工厂在一个星期内利用这条流水线生产x辆摩托车,根据题意,得 -20x2+2 200x>60 000. 移项整理,得x2-110x+3 000<0. 对于方程x2-110x+3 000=0,Δ=100>0,方程有两个实数根x1=50,x2=60. 画出二次函数y=x2-110x+3 000的图象如图所示,结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|50<x<60},从而原不等式的解集为{x|50<x<60}. 因为x只能取整数值,所以当这条流水线在一个星期内生产的摩托车数量在51～59辆时,这家工厂能够利用这条流水线创收60 000元以上. 一元二次不等式恒成立问题 [例3] (1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2] (2)已知函数y=mx2-mx-1.若对于 x∈[1,3],y<5-m恒成立,则实数m的取值范围为　　　　.  (3)若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为　　　　.  解析:(1)当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立; 当a-2≠0,即a≠2时, 则有 解得-2<a<2. 综上,实数a的取值范围是(-2,2]