第一章 4.2 一元二次不等式及其解法-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

4.2　一元二次不等式及其解法 学习目标 1.从教材实例中抽象出一元二次不等式的概念,提升数学抽象素养. 2.通过从一元二次函数的观点得到一元二次不等式的求解方法,提升数学抽象、逻辑推理素养. 3.通过对一元二次不等式的学习,提升数学运算素养. 1.一元二次不等式的概念 (1)一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式. (2)一元二次不等式的解集:使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解方法 3.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} {x|x≠-} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 思考1:关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R,a,b,c满足的条件是什么? 提示:或 思考2:关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为,a,b,c满足的条件是什么? 提示:或 解一元二次不等式 [例1] 解下列不等式. (1)2x2+5x-3<0; (2)-3x2+6x≤2; (3)4x2-4x+1>0; (4)-x2+6x-10>0. 解:(1)方程2x2+5x-3=0的两实根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①.由图可得原不等式的解集为{x|-3<x<}. (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.方程3x2-6x+2=0的Δ=36-4×3×2=12>0, 解方程3x2-6x+2=0, 得x1=,x2=. 作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②, 由图可得原不等式的解集为{x|x≤或x≥}. (3)因为方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=.作出函数y=4x2-4x+1的图象如图③.由图可得原不等式的解集为{x|x≠}. (4)原不等式可化为x2-6x+10<0, 因为方程x2-6x+10=0的Δ=36-40=-4<0, 所以方程x2-6x+10=0无实根, 所以原不等式的解集为. 解一元二次不等式的一般步骤 第一步:把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正,右边为0的形式);第二步:求Δ=b2-4ac;第三步:若Δ≤0,根据二次函数图象直接写出解集;若Δ>0,求出对应方程的根写出解集. 针对训练:解下列不等式. (1)2x2+7x+3>0; (2)-4x2+18x-≥0; (3)-2x2+3x-2<0. 解:(1)因为方程2x2+7x+3=0的Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-. 又一元二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上, 所以原不等式的解集为{x|x>-或x<-3}. (2)原不等式可化为(2x-) 2≤0, 所以原不等式的解集为{x|x=}. (3)原不等式可化为2x2-3x+2>0, 因为方程2x2-3x+2=0的Δ=9-4×2×2=-7<0, 所以方程2x2-3x+2=0无实根, 又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上, 所以原不等式的解集为R. 解含参数的一元二次不等式 [例2] (1)对于实数a<-1时,关于x的一元二次不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是(　　) A.{x|-1<x<} B.{x|x≠-1} C.{x|x<-1或x>} D.{x|<x<-1} (2)关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(　　) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(1,3) C.(-1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞) (3)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,0]∪[2,3) B.[-2,-1)∪(3,4] C.[-1,0)∪(2,3] D.(-2,-1)∪(3,4) 解析:(1)因为a<-1,所以0>>-1, 所以(ax-1)(x+1)<0的解集为{x|x<-1或x>}.故选C. (2)关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),所以当x=1时,ax-b=0,即a=b,且a<0,不等式(ax+b)(x-3)>0为(ax+a)(x-