第一章 3.1 不等式的性质-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§3　不等式 3.1　不等式的性质 学习目标 1.通过实数大小的比较及不等式性质的证明,提升逻辑推理素养. 2.借助不等式性质的应用,提升数学运算素养. 　　建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好. 探究1:若同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了? 答案:同时增加相等的窗户面积和地板面积后,住宅的采光条件变好了. 探究2:如何用式子表示上述关系? 答案:设住宅窗户面积和地板面积分别为a,b(a<b),同时增加的面积为m(m>0),则>. 1.两个实数的大小关系的基本事实 对于任意的实数a,b,有以下基本事实: a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0; a<b⇔a-b<0. 2.不等式的性质 性质 名称 性质内容 注意点 1 传递性 ⇒a>c 2 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 3 可乘性 ⇒ac>bc c的符号 ⇒ac<bc 4 同向 可加性 ⇒a+c>b+d 同向 5 同向同号 可乘性 ⇒ac>bd 同向 ⇒ac<bd 6 可开方性 a>b>0⇔n> n(n∈N+,n≥2) 同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N+,n≥2) 同正 思考1:由a≥b,b≥c能否得到a≥c呢?如果a≥b,b>c,能否一定得到a≥c呢? 提示:由a≥b,b≥c可以得到a≥c;而如果a≥b,b>c,则一定可以得到a>c.又“a≥c”包含“a>c”或“a=c”,所以a≥c是一定成立的.故如果a≥b,b>c,则一定可以得到a≥c. 思考2:两个不同向不等式的两边可以分别相除吗? 提示:不可以.两个不同向不等式的两边不能分别相除,在需要商时,可利用不等式性质转化为同向不等式相乘. 用不等式(组)表示不等关系 [例1] 某汽车货运公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元,90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式. 解:设分别购买A型汽车和B型汽车x辆,y辆, 则 即 将不等关系表示成不等式(组)的思路 (1)读懂题意,找准不等式所联系的量. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 针对训练:用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系. 解:由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,所以0<x≤18, 这时菜园的另一条边长为=(15-) (m). 因此菜园面积S=x·(15-), 依题意有S≥216, 即x(15-)≥216, 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 实数(式)的比较大小 [例2] 已知x≤1,试比较3x3与3x2-x+1的大小. 解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 因为x≤1得x-1≤0,而3x2+1>0, 所以(3x2+1)(x-1)≤0, 所以3x3≤3x2-x+1. 变式探究:把本例中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的大小. 解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 因为3x2+1>0, 当x>1时,x-1>0,所以3x3>3x2-x+1; 当x=1时,x-1=0,所以3x3=3x2-x+1; 当x<1时,x-1<0,所以3x3<3x2-x+1. 作差比较法比较两式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个式子作差. (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形. (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号. (4)作出结论. 不等式的性质及其应用 [例3] (1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc; (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. 证明:(1)因为a>b,c>0,所以ac>bc, 即-ac<-bc. 又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc. (2)因为c<d<0,所以-c>-d>0, 又a>b>0, 所以a+(-c)>b+(-d)>0, 即a-c>b-d>0, 所以0<<, 又e<0,所以>. 不等式的性质常与比较大小或不等式的证明等问题结合起来考查,此类题目一般可以结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以利用特殊值求解. 针对训练:若<<0,有下列四个不等式:①|a|>|b|,②a<b,