第一章 2.1 第2课时 充要条件-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

第2课时　充要条件 学习目标 1.通过充要条件的概念及充要条件的判断,提升逻辑推理素养. 2.借助充要条件的应用,提升数学运算素养. 充要条件:一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p⇔q.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件. p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”,或“p与q等价”. 思考:“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里? 提示: p是q的充要条件说明p是条件,q是结论. p的充要条件是q说明q是条件,p是结论. 传递性:p⇒q,q⇒s则p⇒s,即p是s的充分条件; q⇒p,s⇒q则s⇒p,即p是s的必要条件; p⇔q,q⇔s则p⇔s,即p是s的充要条件. 充要条件的判断 [例1] 判断下列各题,p是不是q的充要条件? (1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:a>b; (2)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (3)p:|x|>3,q:x2>9. 解:(1)在△ABC中,显然有∠A>∠B⇔a>b, 所以p是q的充要条件. (2)若a2+b2=0,则a=b=0,即p⇒q; 若a=b=0,则a2+b2=0,即q⇒p,故p⇔q, 所以p是q的充要条件. (3)由于p:|x|>3⇔q:x2>9,所以p是q的充要条件. 判断p是不是q的充要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件. 针对训练:“实数a,b中至少有一个不为零”的充要条件是(　　) A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 解析:a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.故选D. 充要条件的证明 [例2] 求证:方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2. 证明:①必要性: 若方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个大于1的根,不妨设两个根为x1,x2,则 ⇒ 即 解得k<-2. ②充分性:当k<-2时,Δ=(2k-1)2-4k2=1-4k>0.方程有两个不等实根. 设方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根为x1,x2, 则(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=k2+2k=k(k+2)>0. 又(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-(2k-1)-2=-2k-1>0, 所以x1-1>0,x2-1>0, 所以x1>1,x2>1. 综上可知,方程x2+(2k-1)x+k2=0的两个根均大于1的充要条件是k<-2. 一般地,证明“p成立的充要条件为q”,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q. 针对训练:求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0), 当x=0时,y=0,函数图象过原点. ②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,b=0. 综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 充要条件的应用 [例3] 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解:p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件, 所以{x|1-m≤x≤1+m}⫋{x|-2≤x≤10}, 故有或 解得m≤3. 又m>0, 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 变式探究1: 若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件, 设p代表的集合为A,q代表的集合为B, 所以A⫋B. 所以或 解不等式组得m>9或m≥9, 所以m≥9,即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 变式探究2: 若本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 解:因为p:-2≤x≤10, q:1-m≤x≤1+m(m>0). 若p是q的充要条件,则无解. 故不存在实数m,使得p是q的充要条件. 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 1.“x=0”是“x2=0”的(　C　) A.充分