专题9.3 空间中的垂直关系（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（四川专用）

专题9.3 空间中的垂直关系 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 1．线线垂直 如果两条直线所成的角是直角(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥b，a⊥α⇒b⊥α. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 3．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角．任一直线与平面所成角θ的范围是 [0°，90°]． 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是 [0°，180°]． 5．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 一、 空间中线线垂直、线面垂直、点到面的距离 例1、若一条直线与平面垂直，下列平面中的两条直线与垂直，可以保证直线与平面垂直的是（         ） ①四边形的两边             ②正六边形的两边          ③圆的两条直径             ④三角形的两边 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 例2、设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（       ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 例3、如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面 例4、如图所示，在三棱锥中，平面，，的延长线交于点，则图中与垂直的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 例5、平行四边形的对角线交点为O，点P在平行四边形所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是 ． 1、以下哪个条件能判断直线l与平面垂直（       ） A．直线l与平面内无数条直线垂直 B．直线l与平面内两条平行直线垂直 C．直线l与平面内两条直线垂直 D．直线1与平面内两条相交直线垂直 2、若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（       ） A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面 3、在正方体的六个面中，与垂直的平面有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（　　） A． B． C． D． 5、已知m，n为两条不同的直线，为平面，有下列命题：①，；②，；③，，其中正确的命题是 ．（填序号） 二、空间中面面垂直、线面角、二面角 例1、下列命题错误的是（       ） A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行 C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角 例2、以下说法正确的是（       ） A．空间异面直线的夹角取值范围是 B．直线与平面的夹角的取值范围是 C．二面角的取值范围是 D．向量与向量夹角的取值范围是 例3、如图，在棱长为2的正方体中，､分别为棱､的中点，则与平面所成角的正切值是（ ） A． B． C． D． 例4、如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 例5、在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 例6、如图，在三棱锥中，若，，是