3.1.2 函数的表示法(一)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

3.1.2　函数的表示法(一) 学习目标 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(列表法、图象法、解析法)表示函数. 2.能根据函数解析式作出函数图象,培养数形结合能力,提升直观想象的核心素养. 3.通过选择合适的方法求函数解析式,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 函数的表示方法 函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法. 解析法,就是用解析式表示两个变量之间的对应关系. 列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 这三种方法是常用的函数表示法. 列表法表示函数 [例1] (多选题)已知函数y=f(x)用列表法表示如表,若f(f(x))=x-1,则x可取(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 2 3 4 2 3 A.2 B.3 C.4 D.5 解析:当x=2时,f(2)=3,则f(f(2))=f(3)=4≠2-1;当x=3时,f(3)=4,则f(f(3))=f(4)=2=3-1;当x=4时,f(4)=2,则f(f(4))=f(2)=3=4-1;当x=5时,f(5)=3,则f(f(5))=f(3)=4=5-1.故选BCD. 求解用列表法表示的函数问题时,应根据表格中自变量对应的函数值求解. 针对训练1:已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3},其定义如下表: x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 1 3 2 x 1 2 3 g(f(x)) 填写后面表格,其三个数依次为(　　) A.1,2,3 B.3,1,2 C.3,2,1 D.2,3,1 解析:由题意有f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1, 所以g(f(1))=g(2)=3,g(f(2))=g(3)=2,g(f(3))=g(1)=1.故选C. 图象法表示函数 [例2] 作出下列函数的图象. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y=,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 解:(1)当x∈[0,2]时,图象是一次函数y=2x+1的一部分,如图①所示. (2)当x∈[2,+∞)时,图象是反比例函数y=的一部分,如图②所示. (3)令y=f(x)=(x+1)2-1,其图象为抛物线,顶点为(-1,-1),对称轴为直线x=-1. 当-2≤x≤2时,图象是抛物线y=x2+2x的一部分,如图③所示. 作函数y=f(x)图象的方法 (1)若y=f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍. (2)若y=f(x)不是所学过的函数之一,则要按:①列表;②描点;③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象. 针对训练2:作出下列函数的图象. (1)y=1-x(x∈Z); (2)y=x2-4x+3,x∈[1,3]. 解:(1)因为x∈Z,所以图象为直线y=1-x上的孤立点,其图象如图①所示. (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=1,3时,y=0;当x=2时,y=-1,其图象如图②所示. 函数解析式的求法 角度1　用待定系数法求函数解析式 [例3] 已知函数f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x)的解析式. 解:由题意设f(x)=ax2+bx+c,a≠0, 则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c =2ax2+2bx+2a+2c, 又因为f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4, 所以解得 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1. (1)使用待定系数法求函数解析式的原理是a1x2+b1x+c1=a2x2+b2x+c2对x∈R恒成立,则a1=a2,b1=b2,c1=c2. (2)当函数为二次函数时,应将函数设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0);若函数为一次函数,则设为f(x)=kx+b(k≠0). 针对训练3:若一次函数f(x)满足:对任意x都有xf(x+1)+f(x2)=2x2+2x+1,求f(x)的解析式. 解:设一次函数f(x)=kx+b,k≠0 xf(x+1)+f(x2)=x[k(x+1)+b]+kx2+b=2kx2+(k+b)x+b, 又xf(x+1)+f(x2)=2x2+2x+1, 所以解得k=1,b=1,所以f(x)=x+1. 角度2　换元法或配凑法求函数解析式 [例4] 已知f(+1)=+2,求函数f(x)的解析式. 解:法一　因为+2=+-+2 =(++1)-2(+1)+2+1 =(++1)-2(+1)+3 =(+1)2-2(+1)+3, 所以f(1+)=(1+)2-2(1+)+