3.1.2 函数的表示法(二)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

3.1.2　函数的表示法(二) 学习目标 1.通过具体实例,理解分段函数的概念,提升数学抽象的核心素养. 2.会描绘分段函数图象,掌握分段函数的简单应用,提升直观想象和数学运算的核心素养. 分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系,就称这样的函数为分段函数. 思考:已知函数f(x)由表给出,写出这个分段函数的解析式、定义域、值域. x 0<x≤5 5<x≤10 f(x) 2 3 提示:解析式:f(x)=定义域:(0,10],值域:{2,3}. 分段函数求值 [例1] 已知函数f(x)= (1)求f(-5),f(-),f(f(-))的值; (2)若f(a)=3,求实数a的值. 解:(1)由题可得f(-5)=-5+1=-4, f(-)=(-)2+2×(-)=3-2, 因为f(-)=-+1=-, 所以f(f(-))=f(-)=(-)2+2×(-)=-3=-. (2)当a≤-2时,f(a)=a+1=3, 解得a=2,不符合题意,舍去; 当-2<a<2时,f(a)=a2+2a=3, 即a2+2a-3=0, 解得a=1或a=-3,因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1符合题意; 当a≥2时,f(a)=2a-2=3,解得a=,符合题意; 综上,当f(a)=3时,a=1或a=. (1)求分段函数的函数值的方法:先确定要求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验. 针对训练1:已知函数f(x)= (1)求f(-1),f(f()); (2)若f(a)=1,求实数a的值. 解:(1)f(-1)=-2+1=-1,f(f())=f(2×+1)=f(2)=22-3=1. (2)当a≤1时,2a+1=1,解得a=0; 当a>1时,a2-3=1,解得a=2或-2(舍去). 综上,a=2或0. 分段函数的图象 角度1　根据分段函数解析式作出函数图象 [例2] 已知函数f(x)= (1)在平面直角坐标系内画出f(x)的图象; (2)根据函数的图象直接写出函数f(x)的值域和方程f(x)=2的解集. 解:(1)根据函数的定义域,描出关键点(-1,2),(0,3),(2,-1),(5,2), 图象如图所示. (2)函数f(x)的值域为(-1,3],f(x)=2的解集为{-1,1,5}. 画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示;若端点不包含在内,则用空心圈表示.应按分段分别作出其图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,用虚线作出其图象,再用实线保留其在该段定义域内的图象即可,即“整段作图分段取”. 针对训练2:已知函数f(x)= (1)画出该函数图象并根据图象写出f(x)的定义域和值域; (2)若f(a)=3,求实数a的值. 解:(1)由函数解析式,可得图象如图. 函数f(x)的定义域为R,值域为R. (2)由(1)图知解得a=. 角度2　根据函数图象写出函数解析式 [例3] 如图,函数f(x)的图象为折线ACB,求函数的解析式. 解:由题图可知,当x∈[-1,0]时,函数图象是线段AC. 设直线AC对应的一次函数解析式为y=k1x+b1(k1≠0), 将点A(-1,0)和C(0,2)的坐标代入,得 解得 所以此时的函数解析式为y=2x+2,x∈[-1,0]; 当x∈(0,2]时,函数图象是线段BC. 设直线BC对应的一次函数的解析式为y=k2x+b2(k2≠0),将点B(2,0)和C(0,2)的坐标代入,得 解得 所以此时的函数解析式为y=-x+2,x∈(0,2]. 综上,函数f(x)= 根据分段函数的图象求分段函数解析式时,应根据各段图象的特征,结合待定系数法求函数解析式的方法求出各段的解析式,最后用分段函数形式写出,要注意各段端点的“含”与“不含”. 针对训练3:已知函数f(x)的图象如图所示,其中y轴的左侧为一条线段,右侧为某抛物线的一段.求函数f(x)的解析式. 解:当x∈[-2,0]时,设f(x)=kx+b(k≠0), 将(-2,0),(0,2)代入可得 解得k=1,b=2, 即f(x)=x+2. 当x∈(0,3]时,设f(x)=a(x-2)2-2, 将点(3,-1)代入可得-1=a(3-2)2-2, 解得a=1, 所以f(x)=(x-2)2-2=x2-4x+2. 所以f(x)= 分段函数的应用 角度1　分段函数不等式解法 [例4] 已知函数f(x)=求不等式f(x)>f(1)的解集. 解:由题意知,f(1)=3. 当x≥0时,原不等式可化为x2-4x+3