4.5.1 函数的零点与方程的解-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 学习目标 1.结合学过的函数图象与性质,了解函数零点与方程解的关系,提升直观想象的核心素养. 2.了解零点的存在定理,会判断零点的个数及零点所在的大致区间,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1 知识梳理 自主探究 1.函数零点与方程的解 (1)函数的零点. ①定义:对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. ②性质. a.当函数图象通过零点且穿过x轴时,函数值 . b.两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号. f(x)=0 变号 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)方程、函数、函数图象之间的关系. 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与 有公共点⇔函数y=f(x)有 . 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解. x轴 零点 连续不断 f(a)f(b)<0 至少有一个 f(c)=0 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 3.二次函数零点的分布 设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,则函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)零点x1,x2的分布情况与一元二次方程系数之间的关系如表. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 注意:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有以下特殊根的条件. ③一个正根,一个负根:x1·x2<0. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2 师生互动 合作探究 角度1　根据函数解析式求函数的零点 [例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=2x+3; 函数的零点 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)f(x)=-x2+2x-1; 解:(2)令-x2+2x-1=0,得x=1, 所以函数f(x)=-x2+2x-1的零点为1. (3)f(x)=x4-x2; 解:(3)令x4-x2=0,所以x2(x-1)(x+1)=0, 解得x=0或x=1或x=-1, 所以函数f(x)=x4-x2的零点为0,1,-1. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (4)f(x)=2x+3; 解:(4)令2x+3=0,则2x=-3,但是2x>0, 所以2x+3=0无解, 所以函数f(x)=2x+3没有零点. (5)f(x)=ln x-1. 解:(5)令ln x-1=0,解得x=e, 所以函数f(x)=ln x-1的零点为e. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 根据函数解析式求函数零点的两种方法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 注意:几何法常用来判断函数零点个数. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 针对训练1:判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)y=x2-4x; 解:(1)令x2-4x=0,得x1=0,x2=4, 所以函数y=x2-4x的零点为0,4. (2)y=x2+x+2; 解:(2)令x2+x+2=0,因为Δ=12-4×1×2=-7<0, 所以方程x2+x+2=0无实数解, 所以函数y=x2+x+2不存在零点. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (3)y=3x-5; 解:(3)令3x-5=0,解得x=log35, 所以函数y=3x-5的零点为log35. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (5)y=(lg x)2-2lg x. 解:(5)令(lg x)2-2lg x=0,则lg x=0或lg x=2,解得x=1或x=100, 所以函数y=(lg x)2-2lg x的零点是1,100. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 角度2　确定函数零点所在区间 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 (2)函数f(x)=x3+ex-2的零点所在的区间为(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) √ 解析:(2)f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,由函数零点存在定理知,单调递增函数f(x)=x3+ex-2零点所在的区间为(0,1).故选A. 知识梳理