专题01 勾股定理重难点复习-【寒假自学课】2024年八年级数学寒假提升学与练（北师大版）

专题01 勾股定理重难点复习 思维导图 核心考点聚焦 1.勾股树(数)问题 2.勾股定理与面积问题 3.勾股定理与网格问题 4.勾股定理与折叠问题 5.勾股定理的证明方法 6.利用勾股定理逆定理说明三角形是直角三角形 7.用勾股定理构造图形解决问题 8.用勾股定理求最短路径问题 一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，，. 二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 三、勾股数 满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：　 ①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；⑤9，40，41…… 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必是直角三角形． 四、勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 1.勾股定理的证明：理解勾股定理的证明方法，能够利用等积法证明勾股定理. 2.勾股定理中与面积、折叠等相关的问题是难点问题，需要进行总结和练习. 3.勾股定理的逆定理的作用是判断某一个三角形是否是直角三角形. 如何判定一个三角形是否是直角三角形的步骤： 首先确定最大边（如），然后验证与是否具有相等关系. 若，则△ABC是∠C为90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 延伸：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形， 其中为三角形的最大边. 考点剖析 考点一、勾股树(数)问题 例题1：下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．4，5，6 C．1，2， D．8，15，17 【答案】D 【解析】A、1，，这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴这一组数不是勾股数，不符合题意； C、1，2，这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴这一组数是勾股数，符合题意； 故选D． 考点二、勾股定理与面积问题 例题2：在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，三个正方形A，B，C的面积分别用，，表示，则图中， ， ， .请写出、、之间的关系式: ． 【答案】16，9，， 【解析】依题意，16，， ∵在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1， ∴根据勾股定理，得正方形C的边长为， ∴， ∵16，，，∴． 故答案为：16，9，，． 考点三、勾股定理与网格问题 例题3：如图，正方形网格中，每一小格的边长为1，P，A，B均为格点． （1） ； （2）点B到直线的距离是 ； （3） ． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1），故答案为：； （2）如图，延长到格点C，连接， 由图可得：，，， ∴，∴， 又，∴， ∴，∴， ∴点B到直线的距离是线段的长，且，故答案为：； （3）由（2）知，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴，故答案为：． 考点四、勾股定理与折叠问题 例题4：如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与重合，与重合．若长方形的长为，宽为． （1）求的长； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【解析】（1）由折叠可知． 设，则． 在中，， ，解得，. （2）如图，过点作于，则， 在中，由勾股定理得， 又，∴， ． ，，         ，. （3）如图，过点作于， ，，， ，，． 考点五、勾股定理的证明方法 例题5：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 如图，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，∠ABD=90°，过点作，垂足为点． (1)求证：，； (2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； (3)若，，求中边上的高．