2.1.2 基本不等式-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

2.1.2　基本不等式 选题明细表 知识点、方法 题号 基本不等式的理解 1,2,10 应用基本不等式求最值 3,4,5,6,7,8,9,11 应用基本不等式证明不等式及综合 12,13,14 基础巩固 1.数学里有一种证明方法叫做Proofs without words,也称之为无字证明,一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形,在等腰直角三角形△ABC中,点O为斜边AB的中点,点D为斜边AB上异于顶点的一个动点,设AD=a,BD=b,则该图形可以完成的无字证明为(　C　) A.≥(a>0,b>0) B.≤(a>0,b>0) C.≤(a>0,b>0) D.a2+b2≥2(a>0,b>0) 解析:由题意得AB=AD+BD=a+b,CO=(a+b),OD=OB-DB=(a+b)-b= (a-b), Rt△OCD中,CD2=OC2+OD2=+=, 因为OC≤CD,所以(a+b)≤,当且仅当a=b时,取等号.故选C. 2.(多选题)已知实数a,b,判断下列不等式中一定正确的是(　CD　) A.≥ B.a+≥2 C.|+|≥2 D.2(a2+b2)≥(a+b)2 解析:当a<0,b<0时,≥不成立; 当a<0时,a+≥2不成立; |+|=||+||≥2, 2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故2(a2+b2)≥(a+b)2,故选CD. 3.若a>0,b>0,+=1,则ab的最小值是(　B　) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:因为1=+≥2,当a=b时取等号, 所以≥2,所以ab≥4.故选B. 4.若x>0,则有(　B　) A.最小值3 B.最小值7 C.最大值3 D.最大值7 解析:因为x>0, 所以=3x++1≥2+1=7,当且仅当3x=即x=1时取等号.故选B. 5.(2021·北京高三期中)函数y=x+(x>1)的最小值是　　　　,此时x=　　　　.  解析:因为x>1,所以x-1>0, 由基本不等式可得y=x-1++1≥2+1=2+1=3,当且仅当x-1=即x=2时,函数取得最小值3. 答案:3　2 6.(2021·浙江高二期中)已知x,y为正实数,且x+2y=3,则+的最小值为　　　　,的最大值为　　　　.  解析:+=(x+2y)(+)=×(7++)≥×(7+2)=,当且仅当x=,y=时取到最小值;=≤=,当且仅当x=,y=时,取到最大值. 答案:　 能力提升 7.已知a>0,b>0,则++2的最小值是(　C　) A.2 B.2 C.4 D.5 解析:因为a>0,b>0,所以++2 ≥2+2≥4=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.故选C. 8.(多选题)下列各选项中,最大值是的是(　BC　) A.y=x2+ B.y=x,x∈[0,1] C.y= D.y=x+(x>-2) 解析:y=x2+≥2==,当且仅当x2=时取等号,因此A无最大值;y2=x2(1-x2)≤()2=,y≥0,所以y≤,当且仅当x=时取等号,B正确;x=0时,y=0,x≠0时,y=≤,当且仅当x=±1时取等号,C正确;y=x+2+-2≥2-2=2,x>-2,当且仅当x=0时取等号,D错误,故选BC. 9.2x2+的最小值是(　C　) A.36 B.6 C.11 D.12 解析:因为2x2+=(2x2+1)+-1≥2-1=11,当且仅当2x2+1=6即x=±时取等号.故选C. 10.(多选题)若实数a>0,b>0,a·b=1,则下列选项的不等式中,正确的有(　ABCD　) A.a+b≥2 B.+≥2 C.a2+b2≥2 D.+≥2 解析:由于a>0,b>0,a·b=1, 由基本不等式得a+b≥2=2, +≥2=2, a2+b2≥2ab=2,+≥2=2, 上述不等式当且仅当a=b=1时,等号成立.所以ABCD四个选项都正确.故选ABCD. 11.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为　　　　.  解析:因为x>0,y>0,所以1+x>0,1+y>0, 所以(1+x)(1+y)≤[]2=(+1)2=25,当且仅当x=y,即x=y=4时取等号. 答案:25 12.若正数a,b满足5ab=a+b+3,则ab的取值范围是　　　　.  解析:因为a,b为正数,所以5ab=a+b+3≥2+3, 化为5-2-3≥0, 解得≤-(舍去)或≥1,即ab≥1. 当且仅当a=b=1时取等号. 所以ab的取值范围是{ab|ab≥1}. 答案:{ab|ab≥1} 13.(2022·福建高二期末)设a>0,b>0,c>0,证明: (1)+≥; (2)++≥++. 证明:(1)因为a>0,