2.1.2 基本不等式-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

2.1.2　基本不等式 数学 核心知识目标 核心素养目标 1.能描述并证明基本不等式,能对基本不等式进行几何解释. 2.能利用基本不等式的性质证明其他不等式. 3.能利用基本不等式求简单的最大值或最小值问题及条件最值问题. 1.通过基本不等式及几何解释的学习,达成数学抽象、逻辑推理及直观想象的核心素养. 2.通过利用基本不等式证明不等式,发展逻辑推理与数学运算的核心素养. 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 基本不等式 (1)定理:对任意a,b∈R,必有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立. (2)推论:对任意a,b≥0,必有 ,当且仅当 时等号成立. 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式. 知识探究 a=b 算术平均数 数学 小试身手 C 数学 C 数学 D 数学 答案:16 数学 课堂探究·素养培育 探究角度1　直接应用基本不等式求最值 [例1] (1)已知0<x<1,求y=x(1-x)的最大值; 探究点一 利用基本不等式求最值 数学 数学 (3)已知两个正数m,n,满足mn=3,求m+3n的最小值; 数学 数学 答案:2 数学 答案:4 [即时训练1-2] 若x>0,y>0且xy=1,则x+4y的最小值是　　　　.  数学 数学 [即时训练1-4] 已知-1<x<3,则y=(1+x)(3-x)的最大值是　　　　.  答案:4 数学 方法总结 (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在“=”号的条件. 以上三点缺一不可. 数学 数学 数学 数学 数学 数学 方法总结 (1)使用基本不等式求一个式子的最值时,若所给式子不满足直接应用基本不等式的条件,可以利用“拼凑项”的方法变形后应用基本不等式求解. (2)拼凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形,拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.拼凑后要保证各量满足基本不等式“一正,二定,三相等”的条件,尤其是要注意验证等号成立的条件. 数学 探究点二 应用基本不等式证明不等式 数学 [即时训练3-1] 已知a,b,c是全不相等的正实数, 数学 方法总结 利用基本不等式证明不等式的策略 从待证不等式及问题的已知条件出发,借助不等式的性质及有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. 一般地,若所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明. 数学 易错警示 利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用; (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用. 数学 数学 数学 数学 方法总结 数学 备用例题 数学 数学 数学 数学 [例3] 已知a,b,c为正数,且a+b+c=1, 求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc. 数学 课堂达标 C 数学 答案:5 数学 答案:b=3a 数学 数学 答案:否　x取值不确定(或x不一定为正数) 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 (3)一般地,对于正数a,b,称为a,b的 ,称为a,b的几何平均数. ≥ 1.下列不等式正确的是(　 　) A.a+≥2 B.(-a)+(-)≤-2 C.a2+≥2 D.(-a)2+(-)2≤-2 解析:C中,由题意得a2>0,故a2+≥2成立.故选C. 2.下列等式中最小值为4的是(　 　) A.y=x+ B.y=2t+ C.y=4t+(t>0) D.y=t+ 解析:A中x=-1时,y=-5<4, B中t=-1时,y=-3<4, C中y=4t+≥2=4,当且仅当t=时等号成立, D中t=-1时,y=-2<4.故选C. 3.下列不等式中,正确的是(　 　) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析:a<0,则a+≥4不成立,故A错; a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错; a=4,b=16,则<,故C错; 由基本不等式可知D项正确.故选D. 4.已知x>-1,则的最小值为　　　　.  解析:===(x+1)++10, 因为x>-1,所以x+1>0, 所以(x+1)++10≥2+10=16. 当且仅当x+1=, 即x=2时,等号成立. 解:(1)因为0<x<1,所以0<1-x<1, 所以y=x(1-x)≤()2=, 当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立, 所以y的最大值为. (2)求y=4x+(x>0)的最小值; 解: