专题08 圆锥曲线的综合应用（三大基础题型+两大重难点题型）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题08 圆锥曲线的综合应用 1、 基础题型 1、 定点和定值问题 2、 直线与圆锥曲线位置关系中求直线斜率问题 3、 直线与圆锥曲线位置关系中求直线方程问题 2、 重难点题型 4、 直线与圆锥曲线位置关系中取值范围问题 5、 直线与圆锥曲线位置关系中探索性问题 定点和定值问题 1．（2023上·天津津南·高二校考期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点. 2．（2023上·天津南开·高二天津市第九中学校考期末）已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为4．经过点且不经过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线与直线交于点E，直线与直线交于点N． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：的面积为定值． 求直线的斜率问题 3．（2023上·天津·高二校联考期末）已知椭圆的左焦点F与抛物线的焦点相同，且椭圆C的离心率为． (1)求椭圆C方程； (2)直线l与椭圆有唯一的公共点M（点M在第二象限，此直线l与y轴的正半轴交于点N，直线与直线交于点P且，求直线l的斜率． 4．（2023上·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）已知点F为椭圆的右焦点，A为椭圆的左顶点，椭圆的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程； (2)设过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点B， ①求的取值范围； ②若，求k的值． 5．（2023上·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）已知椭圆，其离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为. (1)求椭圆的标准方程： (2)直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限，此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点且，求直线的斜率. 直线与圆锥曲线关系求直线方程问题 6．（2023上·天津·高二统考期末）已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，且，求直线l的方程． 7．（2023上·天津滨海新·高二校考期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点的坐标为，离心率为． (1)求的方程； (2)设过的直线与相交于点A，B两点，若（O为坐标原点），求方程． 8．（2023上·天津西青·高二统考期末）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 9．（2023上·天津南开·高二南开中学校考期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点.若，求直线的方程. 直线与圆锥曲线位置关系中取值范围问题 10．（2023上·天津北辰·高二校考期末）已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于，求的取值范围. 圆锥曲线中的探索性问题 11．（2023上·天津北辰·高二校考期末）如图，椭圆经过点，且离心率为. (I)求椭圆的方程； (II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点）， 问：直线与的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆锥曲线的综合应用 1、 基础题型 1、 定点和定值问题 2、 直线与圆锥曲线位置关系中求直线斜率问题 3、 直线与圆锥曲线位置关系中求直线方程问题 2、 重难点题型 4、 直线与圆锥曲线位置关系中取值范围问题 5、 直线与圆锥曲线位置关系中探索性问题 定点和定值问题 1．（2023上·天津津南·高二校考期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，与轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点. 【详解】（1）依题意，，∴， 又，， ∴，∴ ∴椭圆的标准方程为. （2）由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，，， 由得，，恒成立， ∴， ∴，则， ∴直线的斜率 ∵直线过点且垂直于 ∴直线的斜率，令得点坐标为， ∴直线的方程为，即 ∴直线恒过定点. 2．（2023上·天津南开·高二天津市第九中学校考期末）已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为4．经过点且不经过点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线与直线交于点E，直线与直线交于点N． (1)求椭