专题06 空间向量与立体几何（四大基础题型+两大重难点题型）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（天津专用）

专题06 空间向量与立体几何 1、 基础题型 1、 空间中异面直线夹角问题 2、 空间中直线与平面的夹角问题 3、 二面角问题 4、 空间中平行和垂直关系的证明 2、 重难点题型 1、 空间角的综合应用 2、 空间立体几何中的探索性问题 空间中异面直线的夹角问题 1．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在三棱锥中，底面，，，，D为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·天津北辰·高二校考期末）如图，在长方体中，设，，是的中点，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·天津南开·高二南开中学校考期末）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．（2023上·天津滨海新·高二校考期末）如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 空间中直线与平面的夹角问题 5．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 二面角问题 6．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 空间中平行和垂直关系的证明 7．（2023上·天津滨海新·高二校考期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，点M为棱PB的中点． (1)求证：； (2)求直线CM与平面PCD所成角的正弦值． 8．（2023上·天津南开·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，，，． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 空间角的综合应用 9．（2023上·天津津南·高二校考期末）如图，平面，.   (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 10．（2023上·天津·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，E为中点，作交于点F． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 空间立体几何中的探索性问题 11．（2023上·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，E，F，G，O分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)线段上是否存在点M，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由． 12．（2023上·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面平面ABCD，，，，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：平面MEC． （Ⅱ）求ME与平面MBC所成角的正弦值： （Ⅲ）在线段AM上是否存在点P，使二面角的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间向量与立体几何 1、 基础题型 1、 空间中异面直线夹角问题 2、 空间中直线与平面的夹角问题 3、 二面角问题 4、 空间中平行和垂直关系的证明 2、 重难点题型 1、 空间角的综合应用 2、 空间立体几何中的探索性问题 空间中异面直线的夹角问题 1．（2023上·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）如图，在三棱锥中，底面，，，，D为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则, ∵，则， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 2．（2023上·天津北辰·高二校考期末）如图，在长方体中，设，，是的中点，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图以为原点，分别以所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，， ，， 所以， 因为与所成的角为锐角或直角， 所以与所成角的大小为， 故选：C 3．（2023上·天津南开·高二南开中学校考期末）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设分别是的中点，连接，则， 由于是等边三角形，所以， 根据直三棱柱的性质可知，平面平面，且交线为， 平面，所以平面， 由于平面，所以. 根据根据直三棱柱的性质可知，平面，所以平面