6.3.2 离散型随机变量的方差-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

3.2　离散型随机变量的方差 学习目标 1.通过实例了解方差概念的建构过程,理解离散型随机变量方差、标准差的概念及其实际含义,能计算简单离散型随机变量的方差、标准差,提升逻辑推理、数学运算素养. 2.会利用离散型随机变量的方差、标准差,反映离散型随机变量的取值偏离均值的平均程度,并能利用方差解决一些相关的实际问题,提升数学建模、数学抽象素养. 问题:A,B两台机床同时加工同一种产品,设X1,X2分别表示A,B两台机床所加工出的次品数,每生产一批数量较大且数量相等的产品时,A,B两台机床所加工出次品的概率如表. A机床 X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 试想利用什么指标可以比较A,B两台机床的加工质量? 提示:EX1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44. EX2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的均值相等,只根据均值无法区分这两台机床的加工水平.可以利用样本方差,它可以刻画样本数据的稳定性. 离散型随机变量的方差 (1)若离散型随机变量X的分布列如表, X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则 (xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度,而DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2pi为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的标准差,记作σX. 随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差(标准差)越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越分散. (2)随机变量X服从两点分布,则DX=p(1-p). 思考:若随机变量X的方差为DX,Y=aX+b(a,b为常数),你能推导出DX与DY的关系吗? 提示:EY=aEX+b,所以DY=D(aX+b)=(ax1+b-aEX-b)2p1+(ax2+b-aEX-b)2p2+…+(axn+b-aEX-b)2pn=(ax1-aEX)2p1+(ax2-aEX)2p2+…+(axn-aEX)2pn=a2DX. 做一做:设随机变量X的方差DX=1,则D(2X+1)的值为(　C　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:D(2X+1)=4DX=4×1=4.故选C. 离散型随机变量方差的性质 (1)设a,b为常数,则D(aX+b)=a2DX. (2)Dc=0(其中c为常数). 离散型随机变量的方差 [例1] 随机变量ξ的分布列如表所示. ξ -1 0 1 P a b 若Eξ=0,则Dξ等于(　　) A. B. C. D. 解析:因为Eξ=0,由表中数据可知Eξ=(-1)×+0×a+1×b=0,解得b=,又+a+b=1,所以a=.所以Dξ=(-1-0)2×+0×+(1-0)2×=.故选A. 求离散型随机变量的方差的步骤 (1)理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值定义求出EX. (5)由方差定义求出DX. [针对训练] 已知c>a,随机变量ξ,η的分布列如表所示,则(　　) ξ 1 2 3 P a b c η 3 2 1 P a b c A.Eξ>Eη,Dξ<Dη B.Eξ>Eη,Dξ=Dη C.Eξ>Eη,Dξ>Dη D.Eξ<Eη,Dξ=Dη 解析:Eξ=a+2b+3c,Eη=3a+2b+c,Eξ-Eη=2c-2a>0,Eξ>Eη, 令a=b=,c=,则Eξ=,Eη=, 则Dξ=,Dη=.故选B. 离散型随机变量方差的简单应用 [例2] (1)随机变量ζ的分布列如表所示. ζ -1 0 1 P a b 若Eζ=-,则D(3ζ-1)等于(　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 (2)(多选题)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,记X的均值和方差分别为EX和DX,则下列结论正确的是(　　) A.EX= B.E(5X+3)=6 C.DX= D.D(5X+3)= 解析:(1)根据题意,可知+a+b=1,则a+b=,因为Eζ=-,即-+b=-,解得b=,所以a=,所以Dζ=(-1+)2×+(0+)2×+(1+)2×=,则D(3ζ-1)=9Dζ=9×=5.故选B. (2)因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,所以P(X=1)=,所以EX=,DX=×=,E(5X+3)=5EX+3=6,D(5X+3)