5.3 组合问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§3　组合问题 3.1　组　合 3.2　组合数及其性质 学习目标 1.理解组合的概念,理清组合与排列的区别与联系,通过对组合概念的理解,提升数学抽象素养. 2.掌握组合数公式以及组合数公式的性质,能够利用组合数公式进行计算,不断提升数学运算素养. 3.结合组合数公式,能够利用组合知识解决简单的实际问题,提升逻辑推理素养. 问题1:某人到某地旅游,要从4处景点A,B,C,D中选择2处,上午选1处,下午选1处,有多少种不同的旅游方案?如果仅从4处景点A,B,C,D中选择2处,又有多少种不同的旅游方案呢? 提示:上午选1处,下午选1处,有4×3=12(种)不同的旅游方案,如果仅从4处景点A,B,C,D中选择2处有6种不同的旅游方案. 1.组合的概念 一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题. 思考1:排列与组合有什么联系和区别? 提示:排列与组合都是关于从n个不同元素中取出m个元素的计数问题;不同之处是组合选出的元素没有顺序,而排列选出的元素是有顺序的. 做一做:求从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数,得到的对数的个数有多少,是　　　　问题;若求两个数相乘得到的积有几种,则是　　　　问题.(用“排列”“组合”填空)  解析:对数式logab的值,与a,b取值顺序有关,属于排列问题;两个数a,b相乘,满足乘法交换律ab=ba,即ab的值与a,b取值顺序无关,属于组合问题. 答案:排列　组合 问题2:假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛,包括体育委员在内,班上篮球运动员共有8人,按照篮球比赛规则,比赛时一个球队的上场队员是5人.我们可以形成多少种队员上场方案?我们又可以形成多少种队员不上场方案?这两种方案之间有什么关系? 提示:上场的方案有种,不上场的方案有种.==56. 2.组合数及其性质 (1)组合数及组合数公式. 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数,记作. 组合数公式:== =. 规定=1. (2)组合数性质. 性质1:=. 性质2:=+. 思考2:组合与组合数的区别是什么?如何理解和记忆组合数的性质? 提示:①组合是具体的一件事情,而不是一个数字;组合数是一个数字.②在性质1中体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想,即两边下标相同,上标之和等于下标.性质2中体现了“含”与“不含”的分类思想,即下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的上标相同的一个组合数. 组合的概念 [例1] 下列问题是排列问题,还是组合问题? (1)从9名学生中选出4名学生参加一个联欢会,共有多少种不同的选法? (2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共有多少个不同的分数? (3)已知空间中有8个点,其中任何4点都不共面,则从这8个点中任意选取4点作为顶点构成一个四面体,共可以构成多少个四面体? 解:(1)根据题意,从9名学生中选出4名学生参加一个联欢会,选出的4名学生没有区别,所以是组合问题. (2)根据题意,从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,分子、分母位置不同,得到的分数也不同,所以是排列问题. (3)根据题意,从这8个点中任意选取4点作为顶点构成一个四面体,选出的点相同,构成的四面体也相同,所以是组合问题. 排列问题与组合问题的区别是元素之间是否有顺序,元素与顺序无关是组合问题,元素与顺序有关是排列问题. [针对训练] 判断下列问题是组合问题还是排列问题. (1)某铁路上有4个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票? (2)把5本不同的书分给5个学生,每人1本,有多少种不同的分法? (3)从7本不同的书中取出5本给某个同学,有多少种不同的取法? 解:(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关,如甲→乙和乙→甲的车票是不同的,所以是排列问题. (2)由于书不同,每人拿到的书也不同,有顺序之分,所以是排列问题. (3)从7本不同的书中,取出5本给某个同学,在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序,所以是组合问题. 组合数及其性质的应用 角度1　组合数的应用 [例2] 证明:(1)=; (2)·=·. 证明:(1)=·==. (2)因为·=·=, ·=·=, 所以·=·. (1)关注组合数中的隐含条件:m≤n,且m,n∈N+,求解时应检验其结果是否满足这一条件. (2)组合数公式=的主要作用:一是计算m,n较大时的组合数;二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. [针对训练] (多选题)