5.1 基本计数原理-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§1　基本计数原理 1.1　分类加法计数原理 1.2　分步乘法计数原理 1.3　基本计数原理的简单应用 学习目标 1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理,提升学生的逻辑推理素养. 2.能够正确区分两个基本原理,能借助两个基本原理解决一些简单的实际问题,提升数学运算素养. 　问题:第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕,某志愿者从济南前往北京参加志愿者活动,他有两类快捷途径可供选择:一是乘飞机,二是乘高铁.假如这天飞机有3个航班可乘,高铁有4个班次可乘.那么该志愿者从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢? 提示:该志愿者共有3+4=7(种)快捷途径可选. 1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法.(也称“加法原理”) 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种方法.(也称“乘法原理”) 思考:应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是什么? 提示:应用分类加法计数原理的关键是分类,且每一类办法中的每种方法都能独立完成这件事;应用分步乘法计数原理的关键是分步,且每一步都不能完成这件事情,只有每一步都完成了,才能完成这件事情. 分类加法计数原理 [例1] (1)设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程 +=1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　) A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 (2)如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,则焊接点脱落的电路不通情况有(　　) A.9种 B.11种 C.13种 D.15种 解析:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以m>n.当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6(个).故选A. (2)按照可能脱落的个数分类讨论,若脱落1个,则有1,4两种情况,若脱落2个,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种情况,若脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4种情况,若脱落4个,则有(1,2,3,4)共1种情况.综上,共有2+6+4+1=13(种)情况.故选C. 变式探究:本例(1)中,条件不变,问题变为“则方程 -=1表示焦点位于x轴上的双曲线”有(　　) A.6个 B.8个 C.12个 D.16个 解析:因为双曲线的焦点在x轴上,所以m>0,n>0,当m=1时,n=1,2,3,4;当m=2时,n=1,2,3,4;当m=3时,n=1,2,3,4;当m=4时,n=1,2,3,4.即所求的双曲线共有4+4+4+4=16(个).故选D. (1)分类时,首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后在这个标准下分类,要做到分类“不重不漏”. (2)利用分类加法计数原理计数时的解题流程. 分步乘法计数原理 [例2] (1)设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中的元素个数是(　　) A.7 B.10 C.25 D.52 (2)某校文创社团近期设计了两款明信片,借此展示学校的文化底蕴和春天美景,一经推出,广受欢迎.为了支持慈善事业,校志愿者社团派出甲、乙等5人帮助文创社团售卖这两款明信片,5人分两组,每组售卖同一款明信片.若甲和乙必须售卖同一款明信片,且每款明信片至少由两名志愿者售卖,则不同的售卖方案种数为(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 解析:(1)由题意得,A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},则x有2种情况,y有5种情况,则由分步乘法计数原理可得A*B中的元素个数是 2×5=10.故选B. (2)根据题意,分2步进行分析:①将5人分为3,2的两组,要求甲和乙在同一组,若甲和乙2人一组,有1种分组方法,若甲和乙和其他1人组成一组,有3种分组方法,则有1+3=4(种)分组方法;②将分好的两组安排售卖两款明信片,有4×2=8种安排方法.故选A. 利用分步乘法计数原理解题的注意点及解题思路 (1)应用分步乘法计数原理时,完成这件事情要分几个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事情,每个步骤缺一不可. (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路. ①分步:将完成这件事的过程分成若干步; ②计数:求出每一步中的方法数; ③结论:将每一步中的方法数相乘得最终结果. [针对训练] (1)某校开展体育