3.5 数学探究活动(一) 正方体截面探究-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

§5　数学探究活动(一):正方体截面探究 学习目标 1.结合正方体截面形状问题,引导学生完成探究、发现、证明新问题的过程,积累数学探究的经验,提升逻辑推理、数学抽象素养. 2.能够解决涉及截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质的判定问题,通过截面形状问题提升学生的直观想象、数学运算素养. 截面 (1)截面:用平面去截几何体,平面与几何体表面的交线所围成的平面图形. (2)截面问题主要包括作图和计算两个方面.处理截面问题一般分为三个步骤:定位、定形、定量.其中,图形的定位是解决截面问题的关键.作截面的方法源于确定平面的基本事实2及三个推论,一般都是先确定一个平面,然后在这个平面内完成作图. 思考:正方体的截面可以是什么形状? 提示:(1)截面可以是三角形:只能是锐角三角形,不能是直角三角形、钝角三角形.如图. (2)截面可以是四边形:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形;截面为四边形时,这个四边形中至少有一组对边平行;截面不能是直角梯形.如图. (3)截面可以是五边形:截面五边形必有两组分别平行的边,同时有两个角相等;截面五边形不可能是正五边形.如图. (4)截面可以是六边形:截面六边形必有分别平行的边,同时有两个角相等.如图. [例1] 已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　) A. B. C. D. 解析:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1D1与棱A1A,A1B1,A1D1所成的角都相等,又正方体的其余棱都分别与A1A,A1B1,A1D1平行,故正方体ABCD-A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等. 取棱AB,BB1,B1C1,C1D1,DD1,AD的中点E,F,G,H,M,N,则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大,此截面面积为S正六边形EFGHMN=6×××sin 60°=.故选A. [例2] 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1上的动点,设AE=λ,B1F=μ.若平面BEF与正方体的截面是五边形,则λ+μ的取值范围是　　　　　.  解析:通过特殊位置来分析,当AE=λ→1时(此时E与D接近重合),若B1F=μ→0(此时B1与F接近重合),此时截面是四边形,随着B1F=μ的变大,平面BEF与正方体的截面是五边形,由此知λ+μ>1;随着B1F=μ→1,平面BEF与正方体的截面仍是五边形,当两者均为1时,截面是三角形,由此知λ+μ<2,故λ+μ的取值范围是(1,2). 答案:(1,2) [针对训练] 如图,正方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分,其中 EH∥A′D′,则剩下的几何体是(　　) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 解析:由几何体的结构特征知剩下的几何体为五棱柱.故选C. 探究总结 结论: 1.正方体的三角形的截面只有锐角三角形而不会有钝角或直角三角形. 2.正方体面积最大的三角形截面是正三角形. 3.正方体面积最大的四边形截面是长方形. 4.正方体截面最少边是三角形,最多边是六边形. 5.正方体面积最大的截面是长方形. 学科网（北京）股份有限公司 $$