6.3.2 离散型随机变量的方差-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

3.2　离散型随机变量的方差 选题明细表 知识点、方法 题号 离散型随机变 量的方差计算 1,2,5,7 离散型随机变量 方差的简单应用 3,4,6,8,10 离散型随机变量均值 与方差的综合应用 9,11,12,13 基础巩固 1.已知随机变量X的分布列如表所示. X -2 0 1 2 P n m 若EX=0,则D(3X-1)等于(　D　) A.6 B.7 C.20 D.21 解析:由题可知m+n++=1,EX=-2n++2m=0,解得m=,n=. 则DX=×(-2)2+×12+×22=,所以D(3X-1)=9DX=21.故选D. 2.已知随机变量X的分布列如表所示,若EX=2,则DX的值可能是(　B　) X 1 2 3 P a b c A. B. C. D.2 解析:由题意可得,EX=2=a+2b+3c,a+b+c=1,所以a=c, 则DX=a(1-2)2+b(2-2)2+c(3-2)2=a+c, 由分布列的性质可知a+c<1,因此DX的值可能是.故选B. 3.从装有2个白球和3个黑球的袋中无放回任取2个球,每个球取到的概率相同,规定: (1)取出白球得2分,取出黑球得3分,取出2个球所得分数和记为随机变量ξ1; (2)取出白球得3分,取出黑球得2分,取出2个球所得分数和记为随机变量ξ2.则(　C　) A.Eξ1<Eξ2,Dξ1=Dξ2 B.Eξ1<Eξ2,Dξ1<Dξ2 C.Eξ1>Eξ2,Dξ1=Dξ2 D.Eξ1>Eξ2,Dξ1<Dξ2 解析:根据题意ξ1=4,5,6,P(ξ1=4)==, P(ξ1=5)==,P(ξ1=6)==,分布列为 ξ1 4 5 6 P 根据题意ξ2=4,5,6,P(ξ2=4)==,P(ξ2=5)==,P(ξ2=6)==,分布列为 ξ2 4 5 6 P Eξ1=4×+5×+6×=, Dξ1=(4-)2×+(5-)2×+(6-)2×=, Eξ2=4×+5×+6×=, Dξ2=(4-)2×+(5-)2×+(6-)2×=, 可得Eξ1>Eξ2,Dξ1=Dξ2.故选C. 4.设a>0,若随机变量ζ的分布列如表所示, ζ -1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差值中最大的是(　C　) A.Dζ B.D(|ζ|) C.D(2ζ-1) D.D(2|ζ|+1) 解析:由题意知,a+2a+3a=1,a=,Eζ=-1×+0×+2×=, E(|ζ|)=1×+0×+2×=,Dζ=×(-1-)2+×(0-)2+×(2-)2=, D(|ζ|)=×(1-)2+×(0-)2+×(2-)2=. Dζ>1>D(|ζ|),D(2ζ-1)=4×=, D(2|ζ|+1)=4×=.选项中D(2ζ-1)最大.故选C. 5.随机变量X的取值为-1,0,1,若P(X=-1)=,EX=,则P(X=0)= 　　　　,D(2X+1)=　　　　.  解析:设P(X=0)=a,则P(X=1)=-a,因此分布列如表所示, X -1 0 1 P a -a 所以EX=-+-a=⇒a=, DX=×(-1-)2+×(0-)2+×(1-)2=,所以D(2X+1)=4DX=. 答案:　 6.现要从甲、乙两位射击运动员中选择一人参加某一赛事,两位运动员以往射击环数数据如表: 甲的环数X 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 乙的环数Y 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4 如果从平均水平和发挥稳定性角度考虑,拟选择的人选是　　　　;理由是　 .  解析:EX=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9, DX=0.2×(8-9)2+0.6×(9-9)2+0.2×(10-9)2=0.4, EY=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9, DY=0.4×(8-9)2+0.2×(9-9)2+0.4×(10-9)2=0.8, 因为EX=EY,所以两位运动员的平均水平一样, 因为DX<DY,所以甲运动员发挥更加稳定, 所以拟选择的人选是甲. 答案:甲　EX=EY,DX<DY 7.已知随机变量ξ的分布列如表所示, ξ -1 0 2 P x y 若Eξ=,则x+y=　　　　;Dξ=　　　　.  解析:由题意得 解得x=,y=,所以x+y=, Dξ=(-1-)2×+(0-)2×+(2-)2×=. 答案:　 能力提升 8.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,EX,DX分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(　ABC　) A.P(X=1)=EX B.E(4X+1)=4 C.DX= D.D(4X+1)=