2.3.2 抛物线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，北师大版）

3.2　抛物线的简单几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 抛物线的几何性质 1,6,7,8,11 抛物线几何性质的应用 2,3,4,5,9,10,12,13 基础巩固 1.下列关于抛物线y=2x2的图象描述正确的是(　A　) A.开口向上,焦点为(0,) B.开口向右,焦点为(0,) C.开口向上,焦点为(0,) D.开口向右,焦点为(0,) 解析:抛物线y=2x2,即x2=y,可知抛物线的开口向上,焦点坐标为(0,). 故选A. 2.抛物线y=12x2上的点到焦点F的距离的最小值为(　C　) A.3 B.6 C. D. 解析:将方程化为标准形式是x2=y,则p=.设M(x0,y0)是抛物线y=12x2上的一点,则|MF|=x0+≥=,当且仅当x0=0时,取等号, 故抛物线y=12x2上的点到焦点F的距离的最小值为.故选C. 3.抛物线x2=my上一点M(x0,-3)到焦点的距离为5,则实数m的值为(　A　) A.-8 B.-4 C.8 D.4 解析:因为抛物线x2=my过点M(x0,-3),所以m<0,抛物线x2=my的焦点为F(0,),由抛物线的定义可知|MF|=|y0|+=3+=3-=5,解得m=-8.故选A. 4.斜率为的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,则的值为(　B　) A. B.1 C.2 D.4 解析:由题意得p=2,=+==1.故选B. 5.(多选题)已知平面内到定点F(0,1)比它到定直线l:y=-2的距离小1的动点的轨迹为曲线C,则下列说法正确的是(　AB　) A.曲线C的方程为x2=4y B.曲线C关于y轴对称 C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2 D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥1 解析:由题意可知,动点到定点F(0,1)与它到定直线l:y=-1的距离相等,由抛物线的定义,知曲线C是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,其方程为x2=4y,所以A,B正确;由x2=4y知y≥0,点P到直线l的距离d≥2,所以C,D错误.故选AB. 6.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦,且|AB|=4,则线段AB的中点C到直线x+=0的距离为　　　　.  解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由于|AB|=x1+x2+p=4,所以x1+x2=4-=, 所以中点C(x0,y0)到直线x+=0的距离为x0+=+=+=. 答案: 7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则kOA·kOB的值是　　　　.  解析:kOA·kOB=·=, 根据焦点弦的性质x1x2=,y1y2=-p2, 故kOA·kOB==-4. 答案:-4 能力提升 8.方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1(mn≠0)在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　A　) 解析:mx+ny2=0变形为y2=-x,表示焦点在x轴的抛物线,排除D; 当mn<0时,y2=-x表示开口向右的抛物线,此时mx2+ny2=1(mn≠0) 表示双曲线,排除C; 当mn>0时,y2=-x表示开口向左的抛物线,此时mx2+ny2=1(mn≠0) 表示椭圆或圆或不表示任何图形,排除B.故选A. 9.(多选题)设抛物线C:y2=3x的焦点为F,点A为C上一点,若|FA|=3,则直线FA的倾斜角可能是(　AC　) A. B. C. D. 解析:如图,作AH⊥l于H,则|AH|=|FA|=3,作FE⊥AH于E, 则|AE|=3-=,在Rt△AEF中,cos∠EAF==,所以∠EAF=, 即直线FA的倾斜角为,同理点A在x轴下方时,直线FA的倾斜角为.故选AC. 10.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　 　.  解析:抛物线的焦点坐标F(0,), 准线方程为y=-. 代入-=1得|x|=. 要使△ABF为等边三角形,则tan ===,解得p2=36,p=6. 答案:6 11.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交 y轴于点N.若M是FN的中点,则|FN|=　　　　.  解析:如图,过点M作MM′⊥y轴,垂足为M′,|OF|=2, 因为M为FN的中点, |MM′|=1, 所以M到准线的距离d=|MM′|+=3, 所以|MF|=3,所以|FN|=6. 答案:6 12.在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值. 解:设P(x0,y0)是y2=2x上任一点, 则点P到直线l的距离为d===, 当y0=1时,点P到直线x-y+3=0的距离的最小值为d