6.3.2 离散型随机变量的方差-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，北师大版）

3.2　离散型随机变量的方差 学习目标 1.通过实例了解方差概念的建构过程,理解离散型随机变量方差、标准差的概念及其实际含义,能计算简单离散型随机变量的方差、标准差,提升逻辑推理、数学运算素养. 2.会利用离散型随机变量的方差、标准差,反映离散型随机变量的取值偏离均值的平均程度,并能利用方差解决一些相关的实际问题,提升数学建模、数学抽象素养. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 1 知识梳理 自主探究 问题:A,B两台机床同时加工同一种产品,设X1,X2分别表示A,B两台机床所加工出的次品数,每生产一批数量较大且数量相等的产品时, A,B两台机床所加工出次品的概率如表. A机床 B机床 试想利用什么指标可以比较A,B两台机床的加工质量? X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 提示:EX1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44. EX2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的均值相等,只根据均值无法区分这两台机床的加工水平.可以利用样本方差,它可以刻画样本数据的稳定性. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 离散型随机变量的方差 (1)若离散型随机变量X的分布列如表, 则 (xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度,而 DX=E(X-EX)2= 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值EX的 .我们称DX为随机变量X的方差,其算术平方根 为随机变量X的标准差,记作σX. 平均偏离程度 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于 .方差(标准差)越小,则随机变量偏离于均值的平均程度 ;反之,方差(标准差)越大,则随机变量的取值越 . (2)随机变量X服从两点分布,则DX= . 均值的平均程度 越小 分散 p(1-p) 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 思考:若随机变量X的方差为DX,Y=aX+b(a,b为常数),你能推导出DX与DY的关系吗? 提示:EY=aEX+b,所以DY=D(aX+b)=(ax1+b-aEX-b)2p1+ (ax2+b-aEX-b)2p2+…+(axn+b-aEX-b)2pn=(ax1-aEX)2p1+ (ax2-aEX)2p2+…+(axn-aEX)2pn=a2DX. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 做一做:设随机变量X的方差DX=1,则D(2X+1)的值为 (　 　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:D(2X+1)=4DX=4×1=4.故选C. √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 离散型随机变量方差的性质 (1)设a,b为常数,则D(aX+b)=a2DX. (2)Dc=0(其中c为常数). 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 2 师生互动 合作探究 [例1] 随机变量ξ的分布列如表所示. 离散型随机变量的方差 √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 求离散型随机变量的方差的步骤 (1)理解随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值定义求出EX. (5)由方差定义求出DX. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 [针对训练] 已知c>a,随机变量ξ,η的分布列如表所示,则 (　　) A.Eξ>Eη,Dξ<Dη B.Eξ>Eη,Dξ=Dη C.Eξ>Eη,Dξ>Dη D.Eξ<Eη,Dξ=Dη √ ξ 1 2 3 P a b c η 3 2 1 P a b c 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 离散型随机变量方差的简单应用 [例2] (1)随机变量ζ的分布列如表所示. √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 √ √ 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 求随机变量Y=aX+b方差的方法 求随机变量Y=aX+b的方差,一种方法是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一种方法是应用公式D(aX+b)=a2DX求解. 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 [针对训练] (1)设0<m<1,随机变量ξ的分布列为 √ 知识梳理·自主探究 师生