1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教A版）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 选题明细表 知识点、方法 题号 位置向量、方向向量、法向量 1,2,3 平行关系 5,7 垂直关系 4,6 综合 8,9,10,11,12,13,14 基础巩固 1.若A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　D　) A.(3,2,1) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(1,2,3) 解析:因为A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上, 所以直线l的一个方向向量=(2,4,6), 又因为(1,2,3)=(2,4,6), 所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量. 2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是(　B　) A.(-1,1,1) B.(1,1,1) C.(-,,-) D.(,,-) 解析:因为=(-1,1,0),=(-1,0,1), 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 则即所以x=y=z, 仅有B中向量满足. 3.(多选题)已知e为直线l的方向向量,m,n是平面α,β的法向量(α,β是不同平面),那么下列说法正确的有(　BC　) A.e·m=0⇔l∥α B.m⊥n⇔α⊥β C.m∥n⇔α∥β D.e∥m⇔l∥α 解析:因为e为直线l的方向向量,m,n是平面α,β的法向量(α,β是不同平面), 若e·m=0,则e⊥m,由于不确定直线l是否在平面α内,当直线l不在平面α内,则l∥α,故A错误;若m⊥n,则α⊥β,故B正确;若m∥n,则α∥β,故C正确;若e∥m,即e也是平面α的法向量,所以l⊥α,故D错误. 4.已知直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,m,-1),b=(-2,1,1),若l1⊥l2,则m等于(　D　) A.1 B.2 C.0 D.3 解析:因为直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,m,-1),b=(-2,1,1), 若l1⊥l2, 所以a⊥b,所以a·b=-2+m-1=0,解得m=3. 5.已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=　　　　,y=　　　　.  解析:因为l1∥l2,所以==,所以x=-14,y=6. 答案:-14　6 6.设直线l的一个方向向量d=(2,0,-1),平面α的一个法向量n= (4,0,-2),则直线l与平面α的位置关系是　　　　.  解析:因为由题设知,n=2d,即n∥d, 所以直线l与平面α的位置关系是垂直. 答案:垂直 7.直线l的方向向量是s=(1,1,1),平面α的法向量n=(1,x2-x,-x),若直线l∥平面α,则x=　　　　.  解析:根据题意,若直线l∥平面α,必有s⊥n, 则有s·n=1+x2-x-x=(x-1)2=0,解得x=1. 答案:1 8.如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1= 2,点E和F分别为BC和A1C的中点. (1)求证:EF∥平面A1B1BA; (2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1. 证明:(1)由AB=AC,E为BC的中点,则AE⊥BC,而AA1⊥平面ABC, AA1∥BB1, 过E作平行于BB1的垂线为z轴,EC,EA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AB=3,BE=, 所以AE=2, 所以E(0,0,0),C(,0,0),A(0,2,0),B(-,0,0),B1(-,0,2), A1(0,2, ),F(,1,). 所以=(,1,),=(-,-2,0),=(0,0,). 设平面A1B1BA的一个法向量为n=(x,y,z), 则即若x=-2, 则n=(-2,,0), 而·n=×(-2)+1×+×0=0, 所以⊥n,又EF⊄平面A1B1BA, 所以EF∥平面A1B1BA. (2)因为EC⊥平面AEA1,则=(,0,0)为平面AEA1的一个法向量. 又EA⊥平面BCB1,则=(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量. 因为·=0,故⊥, 故平面AEA1⊥平面BCB1. 能力提升 9.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的是(　ABD　) A.AP⊥AB B.AP⊥BD C.AP∥BD D.向量n=(,-,)是平面ABCD的法向量 解析:对于A,·=-2-2+4=0,则AP⊥AB,故A正确; 对于B,C,=-=(2,3,4),·=-2+6-4=0,则AP⊥BD,故B正确,C错误; 对于D,由n·=+-=0,n·=-=0, 则向量n=(,-,)是平面ABCD的法向量,故D正确. 10.如图,在正四棱柱