2.3.3-2.3.4 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教A版）

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 学习目标 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式,提升直观想象的核心 素养. 2.掌握两条平行直线间的距离公式,强化数学运算的核心素养. 3.会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离,提升数学运算的核心素养. 1.点到直线的距离公式 (1)点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足. (2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d=. [思考1] 当d=0时,点P与直线l:Ax+By+C=0的位置关系是什么? 提示:当d=0时,点P在直线l上. [做一做1] 点P(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是(　B　) A. B. C. D. 解析:点P(1,-1)到直线x-y+1=0的距离d==. 2.两条平行直线间的距离 (1)两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段 的长. (2)求法:两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离. (3)公式:两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(A,B不同时为0)间的距离为d=. [思考2] 直线l:Ax+By+C=0,常数d>0,平行于l且与l的距离为d的直线有几条? 提示:两条. [做一做2] 已知两条平行直线3x+4y-3=0与3x+4y+1=0,则它们之间的距离为(　C　) A. B. C. D. 解析:已知两条平行直线3x+4y-3=0与3x+4y+1=0, 则它们之间的距离为=. 　点到直线的距离 [例1] (1)(多选题)在平面直角坐标系中,点M的坐标为(,),则点M、原点O到直线的距离为1的直线方程是(　　) A.y=x+ B.y=-x- C.y=-x+ D.y=x- (2)点(5,-3)到直线x+2=0的距离等于(　　) A.7 B.5 C.3 D.2 解析:(1)对于A,x-y+=0,点M到直线的距离为=1, 原点O到直线的距离为=1,故A正确; 对于B,x+y+=0,点M到直线的距离为=3, 原点O到直线的距离为=1,故B错误; 对于C,x+y-=0,点M到直线的距离为=1, 原点O到直线的距离为=1,故C正确; 对于D,x-y-=0,点M到直线的距离为=1, 原点O到直线的距离为=1,故D正确.故选ACD. (2)法一　由已知代入点到直线的距离公式可得d==7.故选A. 法二　由直线x+2=0,得x=-2,因为直线x=-2与y轴平行,所以点(5,-3)到直线x+2=0的距离d=|5-(-2)|=7.故选A. (1)使用点到直线的距离公式时,首先把直线方程化为一般式,再利用公式求解. (2)已知点到直线的距离求参数时,只需根据公式列方程求解参数 即可. [针对训练] (1)若点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,求点P的坐标; (2)求点P0(-1,2)到直线y-1=0的距离; (3)求过点A(-1,2)且到原点的距离等于的直线方程. 解:(1)由点P在直线3x+y-5=0上, 设P(x0,5-3x0), 点P到直线x-y-1=0的距离为, 即=, 化简得|4x0-6|=2,解得x0=1或x0=2. 当x0=1时,y0=5-3×1=2, 当x0=2时,y0=5-3×2=-1, 所以点P的坐标为(1,2)或(2,-1). (2)法一　由点到直线的距离公式得d==1. 法二　因为直线y-1=0与x轴平行, 所以由图知d=|2-1|=1. (3)当斜率不存在时,显然直线x=-1到原点的距离为1,不符合题意, 所以所求直线的斜率是存在的. 设所求直线的方程为y-2=k(x+1), 化成一般式为kx-y+2+k=0. 由题意得=,解得k=-1或-7. 故符合题意的直线方程为y-2=-(x+1)或y-2=-7(x+1), 即x+y-1=0或7x+y+5=0. 　两条平行直线间的距离 [例2] 求两条平行直线l1:6x+8y=20和l2:3x+4y-15=0间的距离. 解:法一　在直线l1上任取一点A(2,1),则点A到直线l2的距离即为所求的两条平行直线间的距离,则d==1. 法二　直接应用两条平行直线间的距离公式, l1:3x+4y-10=0,l2:3x+4y-15=0, 故d==1. 求两条平行直线间的距离有两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行直线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. (2)直接利用两条平行直线间的距离公式d=(A2+B2≠0),但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等. [针对训练] (1)若直线l1:3x-4y-3=0与l2:3x-ay+7=0(a∈R)平行,则l1与l2间的距离是　　　　;  (2)若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m