1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教A版）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.理解直线的方向向量与平面的法向量,培养数学抽象的核心素养. 2.掌握利用空间向量研究空间中直线与平面的位置关系,提升逻辑推理的核心素养. 3.培养学生的作图能力和空间想象能力,增强学生应用数学的意识,强化直观想象的核心素养. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 动手旋转一个圆盘陀螺,可以发现该陀螺随着轴一起转动时,圆盘平面时而水平,时而倾斜,在不断改变方向,陀螺的轴虽在不断改变方向,但始终与圆盘垂直. 探究:(1)我们能用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向吗? 答案:(1)能,因为轴始终与圆盘平面垂直,轴的方向即唯一确定圆盘平面的方向. (2)能用平面上的某一条有向线段代表的向量来刻画平面的方向吗? 答案:(2)不能.平面上的某一条有向线段代表的向量与平面的方向不唯一确定. 1.空间中点、直线和平面的向量表示 (1)点的位置向量. (2)空间直线的向量表示式. ①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 空间任意直线由直线上一点及直线的 向量唯一确定. 方向 (3)空间平面的向量表示式. 取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使 .③ 把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 空间中任意平面由空间一点及两个 向量唯一确定. 不共线 (4)平面的法向量. 直线l⊥平面α,取直线l的 向量a,我们称向量a为平面α的 .给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 . 方向 法向量 [思考1] 若向量n1,n2为某一平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线是否一定平行? 提示:不一定,以这两个向量为方向向量的直线可以是同一条直线. 2.空间中直线、平面的平行 (1)两直线平行的判定方法. 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔ ⇔ ∃λ∈R,使得 . (2)直线和平面平行的判定方法. 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔ ⇔ . (3)平面和平面平行的判定方法. 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔ ⇔∃λ∈ R,使得 . u1∥u2 u1=λu2 u⊥n u·n=0 n1∥n2 n1=λn2 [思考2] 若直线l的方向向量m和平面α的法向量垂直,则l是否与平面α平行? 提示:l与α不一定平行,有两种情况:l⊂α或l∥α. A.-8 B.8 C.-1 D.1 C 3.空间中直线、平面的垂直 (1)两直线垂直的判定方法. 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔ ⇔ . (2)直线和平面垂直的判定方法. 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R,使得 . (3)平面和平面垂直的判定方法. 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β ⇔ ⇔ . u1⊥u2 u1·u2=0 u∥n u=λn n1⊥n2 n1·n2=0 [思考3] (1)若两个平面的法向量不垂直,那么这两个平面垂直吗? 提示:(1)不垂直. (2)若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直,那么l与α垂直吗? 提示:(2)垂直. A A.l⊥α B.l∥α C.l⊂α D.不确定 2 师生互动 合作探究 直线的方向向量 (1)直线的方向向量为非零向量. 求平面的法向量 [例2] 如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C 上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求平面ABB1A1的一个法向量; 解:(1)因为x轴垂直于平面ABB1A1, 所以n1=(1,0,0)是平面ABB1A1的一个法向量. (2)求平面MBD1的一个法向量. [例2] 如图,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M在棱C1C上,且CM=2MC1.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设直线l的方向向量为u=(a1,b1,c1),平面α的法向量为v= (a2,b2,c2),则l⊥α⇔u∥v⇔u=kv⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2,其中k∈R. 平面的法向量的求解方法 (1)设出平面的法向量为n=