1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，人教B版）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间 向量 1.能用向量语言表述直线和平面,理解直线的方向向量. 2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系. 学习目标 1 知识梳理 自主探究 1.空间中的点与空间向量 位置向量 (1,2,3) 2.空间中的直线与空间向量 [思考1] 直线l的方向向量唯一吗?直线l的方向向量之间有怎样的关系? 提示:直线l的方向向量不唯一,若v为直线l的方向向量,则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量,直线l的任意两个方向向量都平行. [思考2] 空间中的直线l的位置由v能确定吗? 提示:空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定. 3.空间中两条直线所成的角 (1)空间中两条相交直线所成角的大小,指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小;两条异面直线a,b所成角的大小,等于两条相交直线a′,b′所成角的大小,其中a′与a平行或重合,b′与b平行或重合;空间中两条平行直线所成角的大小规定为0°. 空间中任意两条直线所成角(即它们之间的夹角)的大小都是确定的.特别地,当空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,l与m垂直,记作l⊥m. [提醒] (1)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,但二者不完全相等.当两方向向量的夹角为钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. (2)用向量方法求两条直线所成的角时,若能建立空间直角坐标系,则相关向量可用坐标表示,通过向量坐标运算求解;若建系不方便,则可选用基向量表示其他向量,通过向量运算求解. B 4.异面直线与空间向量 (2)一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1, N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离. [提醒] 空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一. 2 师生互动 合作探究 空间中的点的位置的确定 求空间点的坐标: 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决,设出待求的点的坐标,利用已知条件列出关于待求点的坐标为未知数的方程或方程组,再求解即可. 求两条异面直线所成的角 求异面直线所成的角的方法: (2)坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单. [针对训练] 在四面体O-ABC中,OA=OB=OC,∠AOB=∠AOC=60°,∠BOC= 90°,则OB与AC所成角的大小为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 利用空间向量解决线线平行或垂直问题 [例3] 设a,b分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系. (1)a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); 解:(1)因为a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1), 所以a=-2b, 所以a∥b,所以l1∥l2. 解:(2)因为a=(5,0,2),b=(0,1,0), 所以a·b=0,所以a⊥b,所以l1⊥l2. [例3] 设a,b分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系. (2)a=(5,0,2),b=(0,1,0). 用向量法证明线线平行或垂直,其主要思路是证明两条直线的方向向量相互平行或垂直,具体有如下方法: (1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标 系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,证明其共线或数量积为0. (2)基向量法:利用向量的加、减、数乘运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,证明其共线或数量积为0. [针对训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱A1B1上,E,F分别是CC1,BC的中点,AE⊥A1B1,AA1=AB=AC=2. 求证:DF⊥AE. 1.若A(0,1,2),B(2,5,8)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　 　) A.(3,2,1) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(1,2,3) D 2.若直线l1的一个方向向量为n1=(1,0,-1),直线l2的一个方向向量为n2=(0,1,-1),则直线l1与l2所成的角为(　 　) A.30° B.45° C.60° D.90° C B 解析:由于l1⊥l2,则a·b=1×(-2)+2×3-2m=4-2m=0,解得m=2. [例2] 如图,已知正方形ABCD的边长为2,长方形ADEF中, AF=1,平面ABCD与平面ADEF互相垂直,G是线段ED的中点,则异面直线BG与CF所成角的余弦值为　　　　.  点击进入 课时作业 谢谢观看 一般地,如果在空间中指定