1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，人教B版）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 学习目标 1.能用向量语言表述直线和平面,理解直线的方向向量. 2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系. 1.空间中的点与空间向量 一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量.特别地,空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定,从而也就由它的坐标唯一确定. [做一做1] 空间直角坐标系中,O为坐标原点,若点P的坐标为(1,2,3),则点P的位置向量=　　　　.  答案:(1,2,3) 2.空间中的直线与空间向量 (1)一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l. (2)如果v1是直线l1的一个方向向量,v2是直线l2的一个方向向量,则v1∥v2⇔l1∥l2,或l1与l2重合. [思考1] 直线l的方向向量唯一吗?直线l的方向向量之间有怎样的关系? 提示:直线l的方向向量不唯一,若v为直线l的方向向量,则λv (λ≠0)也为直线l的方向向量,直线l的任意两个方向向量都平行. [思考2] 空间中的直线l的位置由v能确定吗? 提示:空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定. 3.空间中两条直线所成的角 (1)空间中两条相交直线所成角的大小,指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小;两条异面直线a,b所成角的大小,等于两条相交直线a′,b′所成角的大小,其中a′与a平行或重合,b′与b平行或重合;空间中两条平行直线所成角的大小规定为0°. 空间中任意两条直线所成角(即它们之间的夹角)的大小都是确定的.特别地,当空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,l与m垂直,记作l⊥m. (2)如果v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>;sin θ=sin<v1,v2>或cos θ=|cos<v1,v2>|. l1⊥l2⇔<v1,v2>=⇔v1·v2=0. [提醒] (1)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,但二者不完全相等.当两方向向量的夹角为钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. (2)用向量方法求两条直线所成的角时,若能建立空间直角坐标系,则相关向量可用坐标表示,通过向量坐标运算求解;若建系不方便,则可选用基向量表示其他向量,通过向量运算求解. [做一做2] 若异面直线l1,l2的方向向量分别是 a=(0,-2,-1), b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　B　) A.- B. C.- D. 解析:因为|a|=,|b|=2,a·b=(0,-2,-1)·(2,0,4)=-4, 所以cos<a,b>==-.因为异面直线夹角的范围是(0,], 所以选B. 4.异面直线与空间向量 (1)设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量. ①“v1与v2不平行”是“l1与 l2异面”的必要不充分条件. ②如果A∈l1,B∈l2,则“v1,v2,不共面”是“l1与l2异面”的充要条件. (2)一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1, MN⊥l2,则称MN为l1与l2的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离. [提醒] 空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一. 设两直线l,m的方向向量分别为v1,v2,v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2). (1)l∥m⇔v1∥v2⇔v1=kv2(k∈R)⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2; (2)l⊥m⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. 空间中的点的位置的确定 [例1] 已知O是坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为A(3,4,0), B(2,5,5),C(0,3,5). (1)若=(-),求点Q的坐标; (2)若P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,求点P的坐标. 解:(1)=(-1,1,5),=(-3,-1,5), =(-)=(2,2,0)=(1,1,0), 所以点Q的坐标为(1,1,0). (2)由P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,知=.设点P的坐标为(x,y,z),则=(x-3,y-4,z),=(2-x,5-y,5-z), 故(x-3,y-4,z)=(2-x,5-y,5-z), 即解得 因此点P的坐标为(,,). 求空间点的坐标: 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决,设出待求的点的坐标,利用已知条件列出关于待求