1.1.1 空间向量及其运算-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，人教B版）

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其运算 选题明细表 知识点、方法 题号 空间向量的有关概念 1,13 空间向量的线性运算 3,6,7,9 空间向量的数量积 2,4,5,8 综合应用 10,11,12,14,15 基础巩固 1.(多选题)下列关于空间向量的命题中,是真命题的是(　AB　) A.任意两个向量共面 B.平行且模相等的两个向量不一定是相等向量 C.若a≠b,则|a|≠|b| D.两个向量相等,则它们的起点与终点相同 解析:空间中任意两个向量都是共面的,A为真命题; 根据相等向量的定义,知大小相等、方向相同的两个向量是相等向量,平行且模相等的两个向量可能是相等向量,也可能是相反向量,B为真命题; 当a=-b时,|a|=|b|,C为假命题; 只要大小相等、方向相同,两个向量就是相等向量,与向量的起点与终点无关,D为假命题. 2.设a,b为空间中的任意两个非零向量,有下列结论: ①a2=|a|2;②=;③(a·b)2=a2·b2;④(a-b)2=a2-2a·b+b2. 其中正确的个数为(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:对于①,a2=|a|2cos 0=|a|2,①正确; 对于②,向量不能作比值,即错误,②错误; 对于③,设a,b的夹角为θ, 则(a·b)2=(|a|·|b|cos θ)2=|a|2·|b|2cos2θ≤a2·b2,③错误; 对于④,由空间向量数量积的运算性质可得(a-b)2=a2-2a·b+b2, ④正确. 3.如图,在斜棱柱ABCDA1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,=a, =b,=c,则等于(　A　) A.a+b+c B.-a-b-c C.-a+b+c D.-a-b+c 解析:=-=(+)-(++)=-a-b-c, =-=a+b+c. 4.在四面体ABCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,·=-2,则∠BAC等于(　C　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:因为∠BAD=90°, 所以·=0, 所以·=·(-)=·-·=-2, 所以·=2,又AB=AC=2, 所以·=||·||cos∠BAC=2, 所以cos∠BAC=,因为∠BAC∈(0°,180°), 所以∠BAC=60°. 5.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于(　C　) A.6 B.6 C.12 D.144 解析:因为=++, 所以=+++2·+2·+2·=36+36+36+ 2×36cos 60°=144, 所以PC=12. 6.化简算式:2(3a-b-4c)-3(a-2b+3c)=　　　　.  解析:由题意得2(3a-b-4c)-3(a-2b+3c)=6a-2b-8c-3a+6b-9c= 3a+4b-17c. 答案:3a+4b-17c 7.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,++=　　 　　, -+=　　　　.  解析:++=++=, -+=-(-)=-=. 答案:　 8.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,若m⊥n,则λ= 　　　　.  解析:由题意得m·n=(a+b)·(a+λb)=|a|2+(λ+1)·a·b+λ|b|2=0,得18+(λ+1)×3×4×cos 135°+16λ=0,解得λ=-. 答案:- 能力提升 9.在三棱锥ABCD中,E,F,H分别为边CD,AD,BC的中点,BE,DH的交点为G,则++的化简结果为(　D　) A. B. C. D. 解析:依题意可得G为△BCD的重心,E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点,所以=,=,所以++=++=. 10.已知正三棱锥PABC的底面ABC的边长为2,M是空间中任意一点,则·(+)的最小值为(　A　) A.- B.-1 C.- D.- 解析:设BC的中点为O,连接AO(图略),设AO的中点为H, 则|HA|==, ·(+)=·(2)=2(+)·(+), 2(+)·(-)=2(-)=2(-), 当M与H重合时,取最小值0,此时·(+)有最小值-. 11.(多选题)金刚石是天然存在的最硬的物质.组成金刚石的每个碳原子,都与其相邻的 4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看,可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处,而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置,如图所示.这就是说,图中有AE=BE=CE=DE,若正四面体ABCD的棱长为a,则下列选项正确的是(　BCD　) A.||= B.+++=0 C.·=0 D.·= 解析:如图所示,O是顶点A在下底面的射影,AM是斜高,AO是四面体的高,OB是下底面的外接圆半径,OM是下底面内切圆的半径,则BM=a, O