压轴大题11 归纳总结梳理数列综合问题-【突破压轴冲刺名校】火箭班尖子生备战2024年新高考数学二轮复习满分秘籍（江苏专用）

压轴大题11 归纳总结梳理数列综合问题 压轴秘籍 1．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项技巧： （1） ； （2） ； （3） （4） （5） 指数型； （6） 对数型. （7） （8） （9） （10） 等 4．倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． 5．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． 万能公式： 形如的数列求和为， 其中，， 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 压轴训练 一、解答题 1．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考三模）数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项和． 2．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）记数列{}的前n项和为.已知，___________. 从①；②；③中选出一个能确定{}的条件， 补充到上面横线处，并解答下面的问题. (1)求{}的通项公式： (2)求数列{}的前20项和. 3．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 4．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列中，其前项和记为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设无穷数列，，…，…对任意自然数和，不等式均成立，证明：数列是等差数列． 5．（2023·江苏南京·模拟预测）已知无穷数列A：，，…满足：①，，…且；②，设为所能取到的最大值，并记数列：，，…. (1)若数列A为等差数列且，求其公差d； (2)若，求的值； (3)若，，求数列的前100项和. 6．（2023秋·江苏苏州·高三江苏省梁丰高级中学校考阶段练习）已知数列中，是其前项的和，，. (1)求，的值，并证明是等比数列； (2)证明：. 7．（2022·江苏·高三专题练习）已知为等差数列，为等比数列，，，. （1）分别求数列和的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， （i）求证； （ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和. 8．（2023秋·江苏·高三淮阴中学校联考开学考试）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)已知为等比数列，对于任意，若，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及其前项和． 9．（2022·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知数列，，为数列的前n项和，，，若，，且，. (1)求数列的通项公式； (2)证明为等差数列； (3)若数列的通项公式为，令为的前项的和，求． 10．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）已知数列满足，． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和． 11．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考开学考试）在①成等比数列，且；②且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列是公差不为0的等差数列，，其前n项和为，数列的前n项和为，若_______.注.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的前n项和. (2)设等比数列的首项为2，公比为，其前n项和为，若存在正整数m，使得，求q的值. 12．（2022春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列，数列的前项和为，满足. (1)求数列和的通项公式； (2)若数列满足：，，求使得成立的所有值. 13．（2022秋·江苏盐城·高三期中）若无穷数列{}满足如下两个条件，则称{}为无界数列： ①（n=1，2，3......） ②对任意的正数，都存在正整数N，使得n>N，都有. (1)若，（n=1，2，3......），判断数列{}，{}是否是无界数列； (2)若，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由； (3)若数列{}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得. 14．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）已知定义在上的函数． (1)若曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求k的值； (2)将的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，求k的值． 15．（2023秋·江苏·高三统考阶段练习）第22