1.3.3 等比数列的前n项和-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

1.3.3　等比数列的前n项和 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 1.等比数列的前n项和公式 na1 na1 数学 数学 na1 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). √ (1)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na. (　 　) (2)求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法.(　 　) √ × (4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(　 　) × 数学 C 2.在公比为整数的等比数列{an}中,a1-a2=3,a3=4,则{an}的前5项和为 (　 　) 3.已知等比数列{an}的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于(　 　) A.31 B.33 C.35 D.37 B 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 等比数列基本量的计算 [例1] 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求Sn; 数学 [例1] 在等比数列{an}中, 数学 [例1] 在等比数列{an}中, (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q. 数学 方法总结 (1)在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. (2)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 数学 [变式训练1] 已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若a1=1,a6=8a3,则q= 　　　 　,S5=　　 　　.  答案:2　31 数学 探究点二 等比数列的前n项和的性质 [例2] (1)在等比数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,S2=3,S4=9,则S6等于 (　　) A.12 B.18 C.21 D.27 解析:(1)设数列{an}的公比为q, 因为S2=3,S4=9,所以S4-S2=6,q≠-1, 所以S2,S4-S2,S6-S4构成以S2为首项,2为公比的等比数列, 所以62=3(S6-9), 所以S6=12+9=21.故选C. 答案:(1)C 数学 (2)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.  答案:(2)2 数学 答案:(1)80 数学 (2)等比数列{an}的前n项和Sn=48,前2n项和S2n=60,则前3n项和S3n= 　　　　.  答案:(2)63 数学 (3)一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求数列{an}的通项公式. 数学 探究点三 等比数列的实际应用 [例3] 借贷10 000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问:每月应支付多少元?(1.016≈ 1.062,1.015≈1.051) 数学 数学 方法总结 解数列应用题的具体方法步骤如下. (1)认真审题,准确理解题意,明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题,是求an,还是求Sn.特别要注意准确弄清项数是多少.弄清题目中主要的已知事项. (2)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达. (3)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式. 数学 [变式训练3] 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%,这个热气球上升的高度能超过125 m吗? 数学 探究点四 分组求和 [例4] 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; 数学 [例4] 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和. 数学 方法总结 分组转化法求和的常见类型 (1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,则可采用分组求和法求{an}的前n项和. 数学 [变式训练4] 已知数列{an}满足an+1=an+2,数列{bn}是各项均为正数的等比数列,且a1=b1=2,b3和b5的等差中项是20,n∈N+. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 解:(1)因为an+1=an+2(n∈N+),所以an+1-an=2(n∈N+). 又因为a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列, 所