3.3.2 抛物线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 1.抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图象 性 质 焦点 (,0) (-,0) (0,) (0,-) 准线 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e=1 2.直线与抛物线的位置关系 直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数取决于方程组解的个数,即方程k2x2+2(kb-p)x+b2=0解的个数. 当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有两个公共点;若Δ=0,则直线与抛物线有一个公共点;若Δ<0,则直线与抛物线没有公共点. 当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点. [思考] 直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线一定相切吗? 提示:可能相切,也可能相交,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交且只有一个公共点. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)抛物线有一个顶点,一个焦点,一条对称轴,一条准线.(　√　) (2)当抛物线的顶点在坐标原点时,其方程是标准方程.(　×　) (3)抛物线的离心率均为1,所以抛物线形状都相同.(　×　) (4)焦点到准线的距离p决定抛物线的开口大小,即决定抛物线的形状.(　√　) 2.(多选题)四种标准方程对应的抛物线有相同的(　AB　) A.顶点 B.离心率 C.准线 D.对称轴 3.直线y=2x-1与抛物线x2=y的位置关系是(　C　) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 　抛物线方程及其几何性质 [例1] 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程. 解:如图所示.设A(x0,y0),由题意可知 B(x0,-y0), 又F(,0)是△AOB的垂心, 则AF⊥OB, 所以kAF·kOB=-1, 即·(-)=-1, 所以=x0(x0-), 又=2px0, 即x0(x0-)=2px0, 所以x0=. 因此直线AB的方程为x=. 根据抛物线的几何性质求抛物线的方程,一般利用待定系数法,先“定形”,再“定量”.但要注意充分运用抛物线定义,并结合图形,必要时还要进行分类讨论. [变式训练1] 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长. 解: 如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则=2px1, =2px2. 又|OA|=|OB|, 所以+=+, 即-+2px1-2px2=0, 所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. 因为x1>0,x2>0,2p>0, 所以x1=x2,由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.由于AB垂直于x轴,且∠AOx=30°,所以=tan 30°=,而=2px1, 所以y1=2p, 于是|AB|=2y1=4p. 所以这个正三角形的边长为4p. 　直线与抛物线的位置关系 [例2] 直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点. 解:由 得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*) 当k=0时,方程变为-4x+1=0,x=, 此时y=1. 所以直线l与C只有一个公共点(,1), 此时直线l平行于x轴. 当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程: Δ=(2k-4)2-4k2×1=16-16k, ①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交; ②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切; ③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离. 综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点. (2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点. (3)当k>1时,直线l与C没有公共点. 直线与抛物线交点个数的判断方法 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0, (1)若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. (2)若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切