2.3 两条直线的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.3　两条直线的位置关系 2.3.1　两条直线平行与垂直的判定 2.3.2　两条直线的交点坐标 1.两条直线的位置关系 l1∥l2 l1⊥l2 l1,l2的倾斜角α1,α2间的关系 α1=α2 |α2-α1|=90° 图示 斜率间的关系 若l1,l2的斜率都存在,设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2(如图①所示); 若l1,l2的斜率都不存在,且在x轴上的截距不同(如图②所示),则l1∥l2 若l1,l2的斜率都存在,设l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则l1⊥l2⇔k1k2=-1(如图③所示); 若l1,l2有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0(如图④所示),则l1⊥l2 直线的法向量的关系(设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0) l1∥l2⇔法向量平行⇔A2=λA1,B2=λB1,C2≠λC1,λ为非零实数 l1⊥l2⇔法向量垂直⇔(A1,B1)·(A2,B2)=A1A2+B1B2=0 [思考1] 如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗? 提示:不一定.若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜率之积是-1,但两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0,另一个不存在. [思考2] 两直线的斜率相等,两直线一定平行吗? 提示:不一定.两直线的斜率相等,两直线平行或重合. 2.两条直线的交点坐标 直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0). 方程组 的解的情况 一组 解 无数 组解 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 [思考3] 若两直线的方程组成的方程组有解,两直线是否交于一点? 提示:不一定.两条直线是否交于一点,取决于联立两条直线方程所得的方程组是否有唯一解.若方程组有无穷多个解,则两条直线重合. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)若两条直线斜率相等,则这两条直线平行.(　×　) (2)若l1∥l2,则k1=k2.(　×　) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线垂直.(　×　) (4)若两直线斜率都不存在,则两直线平行.(　×　) (5)若由两条直线的方程组成的方程组只有一组公共解,则两条直线相交.(　√　) 2.已知A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率为(　B　) A.-3 B.3 C.- D. 3.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是(　D　) A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 4.直线l1的斜率为2,直线l2上有三点M(3,5),N(x,7),P(-1,y),若l1⊥l2,则x=　　　　,y=　　　　.  答案:-1　7 　两条直线平行 [例1] (1)下列各对直线互相平行的是(　　) A.直线l1经过A(0,1),B(1,0),直线l2经过 M(-1,3),N(2,0) B.直线l1经过A(-1,-2),B(1,2),直线l2经过M(-2,-1),N(0,-2) C.直线l1经过A(1,2),B(1,3),直线l2经过 M(1,-1),N(1,4) D.直线l1经过A(3,2),B(3,-1),直线l2经过M(1,-1),N(3,2) (2)已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为　　　　.  解析:(1)对于A,k1==-1,k2==-1,k1=k2,结合图形知l1∥l2; 对于B,k1==2,k2==-,k1≠k2,所以l1与l2不平行; 对于C,因为l1过A(1,2),B(1,3), l2过M(1,-1),N(1,4), 结合图形可知,l1与l2重合,所以l1与l2不平行; 对于D,由于l1的斜率不存在, k2==,所以l1与l2不平行.故选A. (2)设顶点D的坐标为(x,y), 因为AB∥DC,AD∥BC, 所以得 所以点D的坐标为(3,4). 答案:(1)A　(2)(3,4)　 判定两直线是否平行时,应先看两直线的斜率是否存在,若都不存在,则平行(不重合的情况下);若存在,再看是否相等,若相等,则平行(不重合的情况下). 易错警示:已知两直线平行,求某参数值时,应分斜率存在与不存在两种情况求解. [变式训练1] 若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是(　　) A. B.- C.2 D.-2 解析:法一　由题意得=(-m-3,2-2m)与a=(-5,5)共线,所以5(