2.2.1—2.2.2 直线的点斜式方程、两点式方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 2.2.2　直线的两点式方程 1.直线方程的有关概念 (1)用给定的条件,将直线上所有点的坐标(x,y)满足的共同关系表示出来,这就是直线方程. (2)直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标称为直线l在y轴上的截距;直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距. 2.直线方程的四种形式 名称 已知条件 方程 点斜式 斜率k与点(x0,y0) y-y0=k(x-x0) 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b y=kx+b 两点式 两点(x1,y1),(x2,y2) (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 截距式 直线在x轴,y轴上的截距分别为a,b +=1(a≠0,b≠0) [思考1] 直线的点斜式方程应用范围是什么? 提示:直线的斜率k存在. [思考2] 直线的斜截式方程应用范围是什么? 提示:直线的斜率k存在. [思考3] 直线的截距式方程应用范围是什么? 提示:不垂直于坐标轴和不过原点的直线. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)直线y-3=m(x+1)恒过定点(-1,3).(　√　) (2)直线y=2x+3在y轴上的截距为3.(　√　) (3)斜率不存在的直线能用两点式方程表示.(　×　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(　√　) 2.过点(-3,2),倾斜角为60°的直线方程为(　C　) A.y+2=(x-3) B.y-2=(x+3) C.y-2=(x+3) D.y+2=(x+3) 3.已知直线l的两点式方程为=,则l的斜率为(　A　) A.- B. C.- D. 4.斜率与直线y=x的斜率相等,且过点(-4,3)的直线的点斜式方程是　　　　;此直线的斜截式方程是　　　　.  答案:y-3=(x+4)　y=x+9 　直线的点斜式方程 [例1] 根据下列条件,求直线的方程. (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行; (4)经过点D(1,1),与x轴垂直. 解:(1)由直线的点斜式方程可知,所求直线的方程为y-5=4(x-2), 即4x-y-3=0. (2)因为直线的倾斜角为45°, 所以此直线的斜率k=tan 45°=1, 所以所求直线的方程为y-3=x-2, 即x-y+1=0. (3)因为直线与x轴平行, 所以直线的倾斜角为0°,斜率k=0, 所以所求直线方程为y+1=0×(x+1), 即y=-1. (4)因为直线与x轴垂直,斜率不存在,故不能用点斜式表示这条直线的方程,由于直线所有点的横坐标都是1,故所求直线方程为x=1. 求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.特别注意:当斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程为x=x0. 易错警示:容易忽视直线斜率不存在的情况. [变式训练1] 已知△ABC在第一象限,若 A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求: (1)边AB所在直线的方程; (2)边AC和BC所在直线的点斜式方程. 解:(1)由题意知,点A(1,1),B(5,1),可得A,B两点的纵坐标均为1, 所以AB边所在直线的方程为y=1. (2)因为AB平行于x轴,且△ABC在第一象限,且kAC=tan 60°=,kBC=tan (180°-45°)=-tan 45°=-1, 所以直线AC的点斜式方程为y-1=(x-1), 直线BC的点斜式方程为y-1=-(x-5). 　直线的斜截式方程 [例2] 求满足下列条件的直线方程. (1)斜率为2,在y轴上的截距为-1; (2)倾斜角为直线y=x+1的倾斜角的一半,在y轴上的截距为-2. 解:(1)由题意得k=2,b=-1, 所以直线方程为y=2x-1. (2)因为直线y=x+1的斜率为, 所以其倾斜角为60°, 故所求直线的倾斜角为30°, 所以所求直线的斜率为 k=tan 30°=. 又b=-2, 所以直线方程为y=x-2. 直线的斜截式方程y=kx+b不仅形式简单,而且特点明显,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距,只要确定了k和b的值,直线就一目了然.因此,在解决直线问题时,常通过把直线方程化为斜截式方程,利用k,b的几何意义进行判断. 易错警示:截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标,它是个数值,可正、可负、可为零,容易与距离混淆. [变式训练2] 直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且l的斜率与l1的斜