1.3.3 等比数列的前n项和-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

1.3.3　等比数列的前n项和 1.等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 公式 Sn= Sn= [思考] 等比数列求和时,能否直接运用公式Sn=或Sn=? 提示:不能.运用公式Sn=或Sn=的前提是公比q≠1,所以含有参数的等比数列求和时,应首先判断该数列的公比是否为1.若公比为1,则应按常数列求和,即Sn=na1,若不能判断公比的值,则应分类讨论. 2.等比数列前n项和的性质 (1)等比数列{an}中,若项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q. (2)当公比q≠1时,设A=,等比数列的前n项和公式是Sn=A(qn-1),即Sn是n的指数型函数.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数. (3)等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,-Sn,-仍成等比数列,其公比为qn,q=-1且n为偶数时除外. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na.(　√　) (2)求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法.(　√　) (3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　×　) (4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(　×　) 2.在公比为整数的等比数列{an}中,a1-a2=3,a3=4,则{an}的前5项和为(　C　) A.10 B. C.11 D.12 3.已知等比数列{an}的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于(　B　) A.31 B.33 C.35 D.37 　等比数列基本量的计算 [例1] 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求Sn; (2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5; (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q. 解:(1)由题意,知 解得或 所以Sn=×5n+1-或 Sn=. (2)法一　由题意,知 解得所以S5==. 法二　由(a1+a3)q3=a4+a6, 得q3=,所以q=. 又a1+a3=a1(1+q2)=10, 所以a1=8,所以S5==. (3)因为a1an=a2an-1=128, 所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两根. 则或 又Sn==126,所以q=2或. (1)在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. (2)在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. [变式训练1] 已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若a1=1,a6=8a3,则q=　　　　,S5=　　　　.  解析:设等比数列{an}的公比为q,根据a1=1,a6=8a3得a1q5=8a1q2,即q5=8q2, 所以q3=8, 所以q=2, 所以S5===31. 答案:2　31 　等比数列的前n项和的性质 [例2] (1)在等比数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,S2=3,S4=9,则S6等于(　　) A.12 B.18 C.21 D.27 (2)等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.  解析:(1)设数列{an}的公比为q, 因为S2=3,S4=9, 所以S4-S2=6,q≠-1, 所以S2,S4-S2,S6-S4构成以S2为首项,2为公比的等比数列, 所以62=3(S6-9), 所以S6=12+9=21.故选C. (2)由题意得 所以 所以公比q===2. 答案:(1)C　(2)2 [变式训练2] (1)若等比数列{an}的公比为,且a1+a3+…+a99=60,则{an}的前100项和为　　　　.  (2)等比数列{an}的前n项和Sn=48,前2n项和S2n=60,则前3n项和S3n=　　　　.  (3)一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为偶数项之和的4倍,前3项之积为64,求数列{an}的通项公式. (1)解析:令X=a1+a3+…+a99=60,Y=a2+a4+…+a100,则{an}的前100项和 S100=X+Y, 由等比数列的前n项和的性质知=q=, 所以Y=20,即S100=X+Y=80. (2)解析:法一　设公比为q, 由已知易知q≠1, 由⇒ 所以S3n==·[1-(qn)3] =64×(1-)=63. 法二　由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,得(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n),即(60-48)2=48(S3n-60)⇒S3n=63. 答案:(1)80　(2)63