4.4 二项式定理-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

4.4　二项式定理 基础巩固 1.(多选题)对于二项式(+x3)n的展开式(n∈N+),下列四种说法正确的有(　AD　) A.存在n∈N+,展开式中有常数项 B.对任意n∈N+,展开式中没有常数项 C.对任意n∈N+,展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N+,展开式中有x的一次项 解析:展开式的通项为Tk+1=)n-k·x3k=x4k-n,可知当n=4,k=1时, 4k-n=0,故A正确;当n=3,k=1时,4k-n=1,故D正确.故选AD. 2.1-2+4-8+16+…+(-2)n的值为(　C　) A.1 B.-1 C.(-1)n D.3n 解析:1-2+4-8+16+…+(-2)n=[1+(-2)]n=(1-2)n=(-1)n.故选C. 3.在(-)n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为(　B　) A.-7 B.7 C.-28 D.28 解析:依题意有+1=5,所以n=8.二项式(-)8的展开式的通项= (-1)k()8-k,令8-k=0得k=6,故常数项为T7=(-1)6()2=7.故选B. 4.(-)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是(　B　) A.0 B.2 C.4 D.6 解析:因为展开式的通项为Tr+1=()10-r·(-)r=· (-)r·x-r=(-)r·,由(5-r)∈N+,知r=0或2.故展开式中第1项、第3项x的指数为正整数. 故选B. 5.(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b=　　　　. 解析:因为(1+)5=1++()2+()3+()4+()5= 41+29,所以a=41,b=29,a+b=41+29=70. 答案:70 6.若(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+ a2+…+a11的值为　　　　. 解析:令x=-1,则原式可化为[(-1)2+1][2×(-1)+1]9=-2=a0+ a1(2-1)+…+a11(2-1)11,所以a0+a1+a2+…+a11=-2. 答案:-2 7.化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1). 解:原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+(x-1)0- 1=[(x-1)+1]5-1=x5-1. 8.求(1-x)4·(1-)3的展开式中x2的系数. 解:展开式中的x2项为(-x)1(-)2+(-x)2=-6x2,所以展开式中x2的系数是 -6. 9.已知(+)n的展开式中的倒数第三项的系数为45.求: (1)含x3的项; (2)系数最大的项. 解:已知展开式中倒数第三项的系数为45, 则=45,即=45,n2-n-90=0. 解得n=-9(舍去)或n=10. (1)二项展开式的通项为Tk+1=()10-k·()k=, 令-+=3,解得k=6. 故含有x3的项是第7项,且T7=x3=210x3. (2)因为(+)10的展开式共11项,所以系数最大的项是第6项,即T6=()5·()5=252. 能力提升 10.下列关于(a-b)10的说法,错误的是(　C　) A.展开式中的二项式系数之和是1 024 B.展开式的第6项的二项式系数最大 C.展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 解析:由二项式系数的性质知+++…+=210=1 024,故A正确.二项式系数最大的项为,是展开式的第6项,故B正确.由展开式的通项为Tk+1=(-b)k=(-1)ka10-k·bk知,第6项的系数-最小,故D正确.故选C. 11.在(x+)n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为(　C　) A.15 B.45 C.135 D.405 解析:令(x+)n中x为1,得各项系数和为4n,又展开式的各项的二项式系数和为2n,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,所以=64,解得n=6.所以二项展开式的通项为Tr+1=·3r·,令6- r=3,解得r=2,故展开式中x3的系数为×32=135.故选C. 12.在(x+y)20的展开式中,系数为有理数的项共有　　　　项. 解析:展开式的通项为Tr+1=x20-r·(y)r=x20-ryr·. 由r=0,1,2,…,19,20,∈N, 得r=0,4,8,12,16,20. 所以系数为有理数的项共有6项. 答案:6 13.已知(x-)n(n∈N+)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p,q,则p+64q的最小值为　　　　. 解析:显然p=2n.令x=1,得q=, 所以p+64q=2n+≥2=16,当且仅当2n=,即n=3时取等号,此时p+64q的最小值为16. 答案:16 14.已知(1+2x