3.3.2 抛物线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 基础巩固 1.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k等于(　C　) A.2或-2 B.-1 C.2 D.3 解析:由得k2x2-4(k+2)x+4=0,则=4,解得k=-1或k=2, 又由Δ=16(k+2)2-16k2>0知k=2.故选C. 2.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上一点(-5,2)到焦点的距离为6,则抛物线的方程为(　B　) A.y2=-2x B.y2=-4x C.y2=2x D.y2=-4x或y2=-36x 解析:因为抛物线顶点在原点,对称轴是x轴, 设y2=2px,则焦点坐标为(,0), 因为点(-5,2)到焦点的距离为6, 所以(-5-)2+(2-0)2=62, 即(5+)2=16,所以5+=4或5+=-4, 解得p=-2或p=-18, 所以y2=-4x或y2=-36x. 经验证,点(-5,2)不在抛物线y2=-36x上,所以抛物线方程为y2=-4x.故选B. 3.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有(　C　) A.1条 B.2条 C.3条 D.0条 解析:易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立,整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足有一个交点;当k≠0时,由Δ=0可得k值有一个,即满足有一个公共点,所以满足题意的直线有3条.故选C. 4.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与C交于A,B两点,若|AB|=8,则p等于(　C　) A. B.1 C.2 D.4 解析:由题可知F(,0),则该直线AB的方程为y=x-, 联立y2=2px,可得x2-3px+=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则有x1+x2=3p. 因为|AB|=8, 所以有x1+x2+p=8, 即4p=8,解得p=2, 故选C. 5.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为的直线l,直线l与抛物线相交于A,B两点,则弦AB的长是　　　　. 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),又焦点F(2,0),所以直线l的方程为y=x-2,代入y2=8x得x2-12x+4=0,则x1+x2=12,|AB|=x1+x2+p=12+4=16. 答案:16 6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过点M(1,0)且斜率为 的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p= 　　　　. 解析:如图,由直线斜率为,得∠BMx=60°.又=,所以M为线段AB的中点.过点B作BP⊥l,垂足为P,则∠ABP=60°,所以 ∠BAP=30°, 所以|BP|=|AB|=|BM|,所以M为焦点,即=1,所以p=2. 答案:2 7.已知抛物线C:y2=-2x,过点P(1,1)的直线l斜率为k,当k取何值时,l与C有且只有一个公共点;有两个公共点;无公共点? 解:直线l:y-1=k(x-1),将x=-代入整理,得ky2+2y+2k-2=0. k=0时,把y=1代入y2=-2x得x=-,直线l与抛物线C只有一个公共点(-,1). k≠0时,Δ=4-4k(2k-2)=-8k2+8k+4. 由Δ=0,得k=, 所以当k<或k>时,Δ<0,直线l与抛物线C无公共点.当k= 时,Δ=0,直线l与抛物线C有且只有一个公共点.当<k<且k≠0时,Δ>0,直线l与抛物线C有两个公共点. 综上可知,k<或k>时,直线l与抛物线C无公共点;k=或k=0时,直线l与抛物线C只有一个公共点;<k<0或0<k<时,直线l与抛物线C有两个公共点. 8.设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3,求k的值. 解:由得4x2+(4k-4)x+k2=0,设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点. 当Δ=(4k-4)2-4×4k2>0, 即k<时,x1+x2=1-k,x1x2=, 所以|AB|= == =. 因为|AB|=3,所以=3, 解得k=-4. 能力提升 9.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=(　B　) A.4 B.8 C.8 D.16 解析:设P(x0,y0),则A(-2,y0).又F(2,0), 所以=-,即y0=4. 由=8x0得8x0=48,所以x0=6. 从而|PF|=6+2=8.故选B. 10.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是(　C　) A.(0,2) B.[0,