3.2.1 双曲线的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 基础巩固 1.平面内有两个定点F1,F2和一动点M,设命题甲:||MF1|-|MF2||是定值,命题乙:点M的轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的(　B　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:命题甲:||MF1|-|MF2||是定值,则点M的轨迹不一定是双曲线,不能推出命题乙,故不充分. 命题乙:点M的轨迹是双曲线,则可得到点M到两定点的距离的差的绝对值等于一常数,即可推出命题甲,故必要.所以命题甲是命题乙的必要不充分条件.故选B. 2.(多选题)(2022·广东阳江高二期末)关于x,y的方程+=1 (其中m2≠4)表示的曲线可能是(　BC　) A.焦点在y轴上的双曲线 B.圆心为坐标原点的圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.长轴长为2 的椭圆 解析:对于A,若曲线表示焦点在y轴上的双曲线, 则m2+2<0,无解,选项A错误; 对于B,若曲线表示圆心为坐标原点的圆, 则m2+2=4-m2,解得m=±1,选项B正确; 对于C,若曲线表示焦点在x轴上的双曲线, 则4-m2<0,所以m>2或m<-2,选项C正确; 对于D,若曲线表示长轴长为2 的椭圆, 则2a=2,a=, 则或 无解,选项D错误. 故选BC. 3.已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线上一点,|PF1|=7,则 |PF2|等于(　C　) A.1或13 B.1 C.13 D.9 解析:根据双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=6, 又|PF1|=7,所以|PF2|=1或|PF2|=13, 又c2=a2+b2=9+16=25, 解得c=5,即|F1F2|=2c=10, 又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=10, 所以|PF2|=13.故选C. 4.已知双曲线的中心在坐标原点,两个焦点F1,F2分别为(,0)和(-,0),点P在双曲线上,且PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为1,则双曲线的方程为(　C　) A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1 解析:由⇒(|PF1|-|PF2|)2=16, 即2a=4,a=2,又c=,所以b=1.所以双曲线的方程为-y2=1.故选C. 5.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m=　　　　.  解析:由点F(0,5)可知双曲线-=1的焦点在y轴上,所以m>0,且m+9=52,解得m=16. 答案:16 6.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是　　　　　　;焦点坐标是　　　　.  解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0), 则 解得 故双曲线的标准方程为-=1. 则c2=25+75=100,c=10, 所以焦点坐标为(0,-10),(0,10). 答案:-=1　(0,-10),(0,10) 7.已知双曲线与椭圆+=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求双曲线的方程. 解:因为椭圆+=1的焦点为(0,-3),(0,3),点A的坐标为(,4)或(-,4), 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 所以 解得 所以所求双曲线的方程为-=1. 8.已知双曲线经过M(1,1),N(-2,5)两点,求双曲线的标准方程. 解:设所求双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),将点M(1,1),N(-2,5)代入上述方程,得 解得 所以所求双曲线的标准方程为-=1. 9.已知动圆M与圆C1:(x+3)2+y2=9外切且与圆C2:(x-3)2+y2=1内切,求动圆圆心M的轨迹方程. 解:设动圆M的半径为r. 因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切, 所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1. 相减得|MC1|-|MC2|=4. 又因为C1(-3,0),C2(3,0), 并且|C1C2|=6>4, 所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支, 且有a=2,c=3,所以b2=5, 则动圆圆心M的轨迹方程为-=1(x≥2). 能力提升 10.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(　D　) A. B. C. D. 解析:因为F是双曲线C:x2-=1的右焦点,所以F(2,0). 因为PF⊥x轴,所以可设点P的坐标为(2,yP). 因为点P是C上一点, 所以4-=1,解得yP=±3, 所以点P(2,±3),|PF|=3. 又因为点A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1, 所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=. 故选D. 11.(2022·甘肃永昌县第一高级中学高二期中)P是双曲线-=1的右支上一点,M