3.1.1 椭圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆的标准方程 基础巩固 1.椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为(　D　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:设点P到另一个焦点的距离为x,则x+2=10,x=8.故选D. 2.中心在原点,焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆方程为(　D　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:法一　验证排除,将点(4,0)代入验证可排除A,B,C.故选D. 法二　设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n), 所以所以故选D. 3.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,若焦距为4,则m等于(　D　) A.4 B.5 C.7 D.8 解析:因为椭圆的焦距为4且焦点在y轴上,所以 m-2-(10-m)=()2,所以m=8.故选D. 4.椭圆的两个焦点分别为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大值为12,则椭圆的方程为(　B　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:因为()max=×8b=12,所以b=3. 又因为c=4,所以a2=b2+c2=25, 所以椭圆的方程为+=1.故选B. 5.椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是　　　　.  解析:由25x2+16y2=1知焦点在y轴上, 且a2=,b2=,则c2=-=,所以c=.所以焦点坐标为(0,±). 答案:(0,±) 6.设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上的点A(1,)到F1,F2两点的距离之和为4,则椭圆C的方程是　　　　. 解析:由|AF1|+|AF2|=2a=4得a=2, 所以椭圆方程为+=1(b>0), 将点A(1,)代入,得b2=3, 所以椭圆C的方程为+=1. 答案:+=1 7.写出适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)a=5,c=2; (2)经过P1(,1),P2(-,-)两点; (3)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,). 解:(1)由b2=a2-c2,得b2=25-4=21. 所以椭圆的标准方程为+=1或+=1. (2)法一　①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知,得⇒ 即所求椭圆的标准方程是+=1. ②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知,得⇒ 与a>b>0矛盾,此种情况不存在. 综上,所求椭圆的标准方程是+=1. 法二　由已知,设椭圆的方程是Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B), 故⇒ 即所求椭圆的标准方程是+=1. (3)法一　方程9x2+5y2=45可化为+=1, 则焦点坐标是F1(0,2),F2(0,-2). 设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 因为点M在椭圆上, 所以2a=|MF1|+|MF2|=+= (2-)+(2+)=4, 所以a=2,即a2=12, 所以b2=a2-c2=12-4=8, 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 法二　由题意,知焦点坐标为F1(0,2),F2(0,-2), 设所求椭圆的方程为+=1(λ>0), 将x=2,y=代入, 得+=1, 解得λ=8或λ=-2(舍去), 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 8.已知经过椭圆+=1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点. (1)求△AF1B的周长; (2)如果直线AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗?为什么? 解:(1)由题意知,点A,B在椭圆+=1上, 故有|AF2|+|AF1|=2a, |BF1|+|BF2|=2a,|AF2|+|BF2|=|AB|, 所以△AF1B的周长L=|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|= (|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=4×5=20. 所以△AF1B的周长为20. (2)如果直线AB不垂直于x轴,△AF1B的周长没有变化.因为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a与直线AB是否与x轴垂直无关,所以△AF1B的周长没有 变化. 9.如图所示,已知点P是椭圆+=1上的点,F1和F2是焦点,且 ∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积. 解:在椭圆+=1中,a=,b=2, 所以c==1. 又因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2.① 由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 30°=|F1F2|2=(2c)2=4,② ①式两边平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20,③ ③-②得