2.6.1 直线与圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

2.6　直线与圆、圆与圆的位置关系 2.6.1　直线与圆的位置关系 基础巩固 1.过圆x2+y2=4上的一点(1,)的圆的切线方程是(　A　) A.x+y-4=0 B.x-y=0 C.x+y=0 D.x-y-4=0 解析:过圆心(0,0)与点(1,)的直线的斜率为,所以过点(1,)的圆的切线的斜率为-,所以切线方程为y-=-(x-1),即x+y-4=0.故选A. 2.已知直线l:ax+by=1,点P(a,b)在圆C:x2+y2=1外,则直线l与圆C的位置关系是(　A　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 解析:因为点P(a,b)在圆C:x2+y2=1外,所以a2+b2>1.圆心(0,0)到直线l:ax+by-1=0的距离d=<1,所以直线l与圆C的位置关系是相交.故选A. 3.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有(　C　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:圆心(3,3)到直线3x+4y-11=0的距离d==2.又r=3,故有3个点到直线3x+4y-11=0的距离等于1.故选C. 4.过点(2,1)的直线中被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线方程是(　A　) A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0 C.x+3y-5=0 D.x-3y+5=0 解析:因为过点(2,1)的直线中被圆(x-1)2+(y+2)2=5截得的弦长最大的直线经过圆心,所以该直线过点(2,1)和圆心(1,-2),其方程为=,整理得3x-y-5=0.故选A. 5.若直线l截圆C:x2+y2-2y=0所得弦AB的中点为P(-,),则直线l的方程为　　　　　　　　,|AB|=　　　　.  解析:由圆心为C(0,1)且AB的中点为P(-,),得kCP=-1.又kCP·kAB=-1,故kAB=1.故l的方程为y-=1·(x+),即x-y+2=0.圆心到直线l的距离d=,又半径r=1,故 |AB|=2=. 答案:x-y+2=0　 6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,求反射光线所在直线的斜率. 解:由已知,得点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性,知反射光线所在直线一定过点(2,-3). 设反射光线所在直线的斜率为k, 则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2), 即kx-y-2k-3=0. 由反射光线与圆相切, 则有d==1, 解得k=-或k=-. 7.已知圆的方程是x2+(y-1)2=2,直线y=x-b,当b为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点,没有公共点? 解:法一　将y=x-b代入x2+(y-1)2=2中消去y得2x2-2(1+b)x+b2+ 2b-1=0,(※) 其判别式Δ=4(1+b)2-8(b2+2b-1)=-4(b+3)(b-1). 当-3<b<1时,Δ>0,方程(※)有两个不等实根,直线与圆有两个公 共点. 当b=-3或1时,Δ=0,方程(※)有两个相等实根,直线与圆只有一个公共点. 当b<-3或b>1时,Δ<0,方程(※)无实数根,直线与圆没有公共点. 法二　圆心(0,1)到直线y=x-b的距离d=,圆半径r=. 当d<r,即-3<b<1时,直线与圆相交,有两个公共点. 当d=r,即b=-3或1时,直线与圆相切,只有一个公共点. 当d>r,即b<-3或b>1时,直线与圆相离,没有公共点. 8.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x-y+2=0相切. (1)求圆O的方程; (2)过点(1,)的直线l截圆所得弦长为 2,求直线l的方程. 解:(1)因为直线x-y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,所以圆心O(0,0)到直线的距离等于圆的半径r,即=r,所以r=2. 所以圆O的方程为x2+y2=4. (2)当直线l的斜率存在时, 设直线l的方程为y-=k(x-1), 即kx-y+-k=0. 因为直线l截圆所得弦长为2, 所以圆心到直线l的距离d==1. 所以=1, 解得k=-, 所以直线l的方程为-x-y+=0, 即x+y-2=0, 当直线l的斜率不存在时,x=1也符合题意. 故直线l的方程为x+y-2=0或x=1. 能力提升 9.(多选题)(2022·广东佛山一中高二上期中)已知圆M:(x+cos θ)2+ (y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中正确的是(　AC　) A.对任意实数k和θ,直线l和圆M有公共点 B.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切 C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切 D.存在实数k与θ,使得圆M上有一点到直线l的距离为3 解析:圆心M(-cos θ,sin θ)到直线l的距离d==