2.4 点到直线的距离-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

2.4　点到直线的距离 基础巩固 1.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是(　C　) A.2 B.3+2 C.6+3 D.6+ 解析:|AB|==3,|BC|=3, |AC|==3. 所以△ABC的周长为6+3.故选C. 2.点(0,5)到直线y=2x的距离是(　B　) A. B. C. D. 解析:y=2x化为一般式为2x-y=0,点(0,5)到直线y=2x的距离d= ==.故选B. 3.(多选题)已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m可以是(　AB　) A.0 B. C.3 D.2 解析:点M到直线l的距离d==,所以=3,解得m=0或m=.故选AB. 4.(2022·重庆一中高二期中)已知直线l1:x+ay-1=0与直线l2: 2x-y+1=0平行,则l1与l2的距离为(　D　) A. B. C. D. 解析:由l1∥l2,得a=-,因此l1:2x-y-2=0, 所以d===.故选D. 5.已知点A(1,2)关于点M(0,-1)的对称点为A′,则|AA′|=　　　. 解析:|AA′|=2|AM|=2=2. 答案:2 6.点(2,1)到x轴的距离为　　　,到直线y=x的距离为　　　　.  解析:点(2,1)到x轴的距离为1,到直线x-y=0的距离为=. 答案:1　 7.已知直线l经过点P(-2,5)且斜率为-. (1)求直线l的方程; (2)若直线m与l平行,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程. 解:(1)由点斜式方程得,y-5=-(x+2), 所以直线l的方程为3x+4y-14=0. (2)设直线m的方程为3x+4y+c=0(c≠-14),则由两平行直线间的距离公式得=3, 所以c=1或-29. 所以直线m的方程为3x+4y+1=0或3x+4y-29=0. 8.求经过两直线l1:x-3y-4=0与l2:4x+3y-6=0的交点,且和点A(-3,1)的距离为5的直线l的方程. 解:法一　由解得 即直线l过点B(2,-). ①当l与x轴垂直时,直线方程为x=2,点A(-3,1)到l的距离d=|-3-2|=5,满足题意; ②当l与x轴不垂直时,设直线斜率为k, 则直线l的方程为y+=k(x-2),即kx-y-2k-=0.由点A到直线l的距离为5,得=5, 解得k=, 所以直线l的方程为x-y--=0, 即4x-3y-10=0. 综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-10=0. 法二　设直线l的方程为4x+3y-6+λ(x-3y-4)=0, 即(4+λ)x+(3-3λ)y-(6+4λ)=0. 因为点A(-3,1)到直线l的距离为5, 所以=5, 解得λ=或1. 所以直线l的方程为x=2或4x-3y-10=0. 9.直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2的距离为5,求l1,l2的方程. 解:若l1,l2的斜率存在, 因为l1∥l2,所以设两直线的斜率为k. 由斜截式得l1的方程为y=kx+1, 即kx-y+1=0. 由点斜式得l2的方程为y=k(x-5), 即kx-y-5k=0. 由两平行线间的距离公式得=5, 解得k=, 所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0. 若l1,l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件. 则满足条件的直线方程有以下两组: l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5. 能力提升 10.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　B　) A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0 解析:设P(x,y),则=, 即3x+y+4=0.故选B. 11.(多选题)与直线2x+y-1=0的距离等于的直线方程为(　AB　) A.2x+y=0 B.2x+y-2=0 C.2x-y=0 D.2x+y+2=0 解析:设与直线2x+y-1=0的距离等于的直线方程为2x+y+m=0 (m≠-1), 所以=,解得m=0或m=-2. 所以与直线2x+y-1=0的距离等于的直线方程为2x+y=0,2x+y-2=0.故选AB. 12.若动点P的坐标为(x,1-x),x∈R,则动点P到原点距离的最小值是　　　　.  解析:|PO|===≥. 答案: 13.已知x,y满足x+y+3=0,则(x+1)2+(y-2)2的最小值为　　　　.  解析:由于(x+1)2+(y-2)2表示点(-1,2)与直线上的点的距离的平方,转化(x+1)2+(y-2)2的最小值为点(-1,2)到直线x+y+3=0的距离的平方,由点