1.3.3 等比数列的前n项和-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

1.3.3　等比数列的前n项和 基础巩固 1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为(　D　) A.1+ B. C. D.以上都不对 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则S9等于(　B　) A.255 B.511 C.512 D.567 解析:因为等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=7,S6=63,所以由等比数列的前n项和的性质得S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即7,56,S9-63成等比数列,所以562=7(S9-63),解得S9=511.故选B. 3.等比数列{an}的公比q<0,已知a2=1,an+2=an+1+2an,则{an}的前 2 020项和等于(　D　) A.2 016 B.-1 C.1 D.0 解析:由an+2=an+1+2an得qn+1=qn+2qn-1,即 q2-q-2=0,又q<0,解得q=-1.又a2=1,所以a1=-1,所以{an}的前2 020项和为S2 020==0.故选D. 4.已知an=(-1)n,数列{an}的前n项和为Sn,则S9与S10的值分别是(　D　) A.1,1 B.-1,-1 C.1,0 D.-1,0 解析:S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,S10=S9+a10=-1+1=0.故选D. 5.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”这首歌谣翻译为“宝塔一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有 381盏灯,问塔顶有几盏灯?”根据上述条件,从上往下数第二层有 　 　　　盏灯.  解析:由题意可知每层悬挂的红灯数是以2为公比的等比数列,设为{an},前7项和为381,由等比数列的求和公式可知,381=,解得a1=3,a2=6. 答案:6 6.已知等比数列{an}的前10项中,所有奇数项之和为85,所有偶数项之和为170,则a3+a6+a9+a12的值为　 　　　.  解析:设公比为q, 由得 所以 a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=a1q2·=585. 答案:585 7.已知等差数列{an}满足a5=13,a1+a3=8. (1)求{an}的通项公式; (2)设Sn是等比数列{bn}的前n项和.若 b1=a1,b3=a4-1,求S6. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为等差数列{an}满足a5=13,a1+a3=8, 所以 解得a1=1,d=3, 所以an=1+3(n-1)=3n-2. 即{an}的通项公式为an=3n-2(n∈N+). (2)设等比数列{bn}的公比为q, 因为在等比数列{bn}中,b1=a1=1,b3=a4-1=9, 所以q2==9,解得q=±3. 当q=-3时,S6==-182; 当q=3时,S6==364. 8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=4,a4=S3. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和. 解:(1)由题意,设数列{an}的公差为d, 则解得 所以an=2(n-1),n∈N+. (2)由(1)知bn=an·2n=(n-1)·2n+1, 设数列{bn}的前n项和为Tn, 则Tn=b1+b2+…+bn, 即Tn=0×22+1×23+…+(n-1)·2n+1, ① 2Tn=0×23+1×24+…+(n-1)·2n+2, ② ①-②,得-Tn=23+24+…+2n+1-(n-1)·2n+2 =-(n-1)·2n+2 =(2-n)×2n+2-8, 所以Tn=(n-2)×2n+2+8. 9.已知数列{an}是等比数列,公比q<1,前n项和为Sn,若a2=2,S3=7. (1)求{an}的通项公式; (2)设m∈Z,若Sn<m恒成立,求m的最小值. 解:(1)因为a2=2,S3=7, 所以 解得q=,a1=4或a1=1,q=2(舍去), 故an=4×()n-1=()n-3. (2)由(1)可知Sn==8(1-)<8, 因为an>0, 所以{Sn}单调递增. 因为S3=7, 所以当n≥4时,Sn∈(7,8). 因为m∈Z,Sn<m恒成立, 所以m的最小值为8. 能力提升 10.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a5-a3=12, a6-a4=24,则=(　B　) A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 解析:法一　设等比数列{an}的公比为q, 则由解得 所