1.2.1-1.2.2 等差数列及其通项公式 等差数列与一次函数-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

1.2　等差数列 1.2.1　等差数列及其通项公式 1.2.2　等差数列与一次函数 基础巩固 1.若数列{an}满足3an+1=3an+1,则数列{an}是(　B　) A.公差为1的等差数列 B.公差为的等差数列 C.公差为-的等差数列 D.不是等差数列 解析:由3an+1=3an+1,得3an+1-3an=1,即 an+1-an=.所以数列{an}是公差为的等差数列.故选B. 2.(2021·四川宜宾高二月考)已知{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于(　B　) A.-2 B.- C. D.2 解析:因为{an}为等差数列,a7-2a4=-1,a3=0, 所以⇒ 所以d=-.故选B. 3.已知等差数列{an}的首项是2,公差为d(d∈Z),且{an}中有一项是14,则d的取值的个数为(　C　) A.3 B.4 C.6 D.7 解析:已知等差数列{an}的首项是2,公差为d(d∈Z),有一项是14,所以设第n项为14,有an=a1+(n-1)d=2+(n-1)d=14,即(n-1)d=12.又 n∈N+知n-1>0,n-1∈N+,而12=1×12=2×6=3×4,所以d的取值集合为{1,2,3,4,6,12}.故选C. 4.在等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10= 0(　A　) A.无实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个不相等实数根 D.不能确定有无实数根 解析:由于a4+a6=a2+a8=2a5,则3a5=9,所以 a5=3,方程为x2+6x+10=0.因为Δ=36-40<0,故方程无实数根.故选A. 5.已知数列8,a,2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为　　　 　, 　　 　　,　　 　　.  解析:因为8,a,2,b,c是等差数列,所以解得 答案:5　-1　-4 6.已知{an}为等差数列,a1+a3=22,a6=7,则a5=　　　　;an=　　　　. 解析:由条件可知 解得 所以a5=12+4×(-1)=8,an=13-n. 答案:8　13-n 7.(1)已知等差数列{an}中,a2+a6+a10=1,求a4+a8的值; (2)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+ a12+a13的值. 解:(1)法一　根据等差数列的性质得a2+a10=a4+a8=2a6, 由a2+a6+a10=1, 得3a6=1, 解得a6=, 所以a4+a8=2a6=. 法二　设公差为d,根据等差数列的通项公式, 得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d,由题意知3a1+15d=1, 即a1+5d=. 所以a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=. (2)设公差为d(d>0), 因为a1+a3=2a2, 所以a1+a2+a3=15=3a2, 所以a2=5. 又a1a2a3=80, 所以a1a3=(5-d)(5+d)=16⇒d=3或d=-3(舍去), 所以a12=a2+10d=35,a11+a12+a13=3a12=105. 8.已知数列{an}满足a1=2,an+1=. (1)数列{}是否为等差数列?说明理由; (2)求an. 解:(1)数列{}是等差数列,理由如下: 因为a1=2,an+1=, 所以==+, 所以-=,即{}是首项为=,公差为d=的等差数列. (2)由(1)可知=+(n-1)d=, 所以an=. 9.已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N+). (1)求a2,a3; (2)证明:数列{}是等差数列; (3)求数列{an}的通项公式an. (1)解:a2=2a1+22=6,a3=2a2+23=20. (2)证明:因为an=2an-1+2n(n≥2,且n∈N+), 所以=+1(n≥2,且n∈N+), 即-=1(n≥2,且n∈N+), 所以数列{}是首项为=,公差d=1的等差数列. (3)解:由(2),得=+(n-1)×1=n-, 所以an=(n-)·2n. 能力提升 10.(多选题)下列关于等差数列的命题中正确的有(　BCD　) A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列 B.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c可能成等差数列 C.若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列 D.若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列 解析:对于A,取a=1,b=2,c=3,可得a2=1,b2=4,c2=9,显然,a2,b2,c2不成等差数列,故A错;对于B,取a=b=c,可得2a=2b=2c,故B正确;对于C,因为a,b,c