5.1.2 导数的概念及其几何意义课件（二）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.2 导数的概念及其几何意义（二）     延时符 授课人： 日期：2023年12月20日 1 学习目标  知道导数是关于瞬间变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；  体会极限思想、通过函数图象直接理解导数的几何意义；  核心素养：数学抽象、数学运算、数学直观 2 复习巩固 函数可导：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导. 导数：这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率)，记作或 即 导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况. 新知导入 4 【问题1】 我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况，那么导数的几何意义是什么? x y x0 x0+∆x f(x0) f(x0+∆x) y=f(x) O P • P0 T • f(x0+∆x)-f(x0) 平均变化率 表示割线的斜率. 当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置. 这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. 4 新知导入 5 【问题1】 我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况，那么导数的几何意义是什么? x y x0 x0+∆x f(x0) f(x0+∆x) y=f(x) O P • P0 T • f(x0+∆x)-f(x0) 即当时，无限趋近于函数在处的导数. 因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即 这就是导数的几何意义. . 5 新课知识 6 导数的几何意义 继续观察图，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线. 将点附近的曲线不断放大，可以发现点附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替. 用GGB画100边形，通过缩放画面体验以直代曲思想. 6 【例1】 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象. 根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况. 例题精讲 7 O t 从图中可以看出， 直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度， 这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢. 附近曲线的变化情况 曲线比较平坦，几乎没有升降. 曲线下降，函数单调递减. • 曲线下降，函数单调递减. • • 7 【例2】 下图中是人体血管中药物浓度 (单位: )随时间 (单位:)变化的函数图象. 根据图象， 估计， 时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 例题精讲 解： 如图示，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作处的切线, 并在切线上取两点, 8 如, , 则该切线的斜率 8 新课知识 9 导函数的概念 从求函数在处导数的过程可以看到，当时， 是一个唯一确定的数. 这样， 当x变化时，就是的函数， 我们称它为的导函数(derived function) ( 简称导数). 的导函数有时也记作，即 例1中的函数 的导函数为 = 次数降低，对函数的研究更容易. 9 课堂练习 10 【练习1 】求曲线在点处的切线方程. 利用导数求切线的斜率 求切线方程的步骤 代入点斜式方程 化为一般式方程 10 课堂练习 11 【练习2】函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　） 【解】由图象可知函数是单调递增的，所以，，均为正. 从图中还可以看出函数切线的斜率是随着自变量的增大而逐渐减小的，因此该函数的导函数是单调递减的， 所以有 . 故选：A 11 课堂小结 12 你能说说导数在研究函数变化率问题时的作用吗？ 函数在处的导数就是切线的斜率，即 . 导数的几何意义 导数的本质 导数在数学中表示了函数在某一点上的变化率，是函数的局部性质。 求切线方程的步骤 利用导数求斜率 代入点斜式方程 化为一般式方程 当x变化时，就是的函数， 我们称它为的导函数( 简称导数). 导函数 12 本课作业 必做 二 必做 一 选做 一 教材 71 页 习题 11 三维 97页 课后 1~10 2 01 02 03 13 微信： 手机： 感谢您的观看 授课人：梅河口市朝鲜族中学 14 sdk_1880(8EF4B6) s