5.1.1 变化率问题 课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题     延时符 授课人： 日期：2023年12月20日 1 学习目标  体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系  掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题，掌握割线与切线的定义，会求其斜率.  数学抽象、数学运算、数学建模 2 新知导入 3 求物体在任意时刻的速度与加速度 求曲线的切线 求函数的最大值与最小值 求长度、面积、体积和重心等 莱布尼茨 牛顿 微积分的创立与意义 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法. 3 新知导入 4 变化率问题 问题1 高台跳水运动员的速度 探究: 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：s）存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ ①全程平均速度 ②分段平均速度 思路 4 张龙吉 (张) - 有很多PPT是基于初版的教材制作，h(t)函数与新版教材在细节上不同，使用时要引起注意。 张龙吉 (张) - 运动员相对于水面的的高度一般有两种计法，①以身体的最低部位与水面的距离，②抽象为一个质点，一般设重心为质点。 本课图示为两种说法的结合，轨迹图示为质点的轨迹，高度为第一种说法。 新课知识 5 平均速度的局限性 要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度． 一般地，在这段时间里， 5 新课知识 6 速度涉及时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 瞬时速度与平均速度的关系 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 可以用这两个时间段内的平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度. 不妨设，则的附近有两个时间段与，当足夠小时，在这两时间段内的运动，可以近似地看成是匀速直线运动。 以求=1时的瞬时速度为例看瞬时速度与平均速度的关系. 6 新课知识 7 瞬时速度与平均速度的关系 0.01 时 时 7.049 6.951 7 0.001 6.995 1 7.004 9 7 0.000 1 6.999 51 7.000 49 7 0.000 01 6.999 951 7.000 049 7 0.000 001 6.999 995 1 7.000 004 9 7 当 无限趋近于0时，无限趋近于0，平均速度 无限趋近于7. 7 7 张龙吉 (张) - 教材中为了极限式子的统一性给了∆x正负两种值，但在基础薄弱校的教学实践中发现，学生对∆x的正负转化不理解，理解需要时间与说明，所以改为现在的样子，学生认为[1-∆x,1]与[1，1+∆x]是1附近的两个区间更直观，符合平常的思维。 新课知识 8 从物理角度看， ， 平均速度 趋近于时的瞬时速度. 极限 数学中我们把7叫做“当无限趋近于0时，平均速度 的极限”记为 当时平均变化率 无限趋近于一个确定的值，则称为函数 在处平均变化率的极限，记为 8 Administrator (A) - 变化率的极限定义并不严格，只是为了和前面的例对应所做的，让学生有个大概的印象即可，强调了两点 ：1.∆x→0 2.等于常数 张龙吉 (张) - 由平均速度抽象出平均变化率概念，为下节课导数概念打基础。平均变化率概念不用细扣，只需知道算式即可。 新课知识 9 我们 瞬时速度 瞬时速度：物体在某一时刻的速度. 瞬时速度与平均速度的关系 设在时刻附近某一时间段内的平均速度是，缩短这一时间段的长度()，那么将趋近于在时刻的瞬时速度. 【2】 瞬时速度与极限的关系 极限计算时，先进行分数的比值计算，分母中不含后，再认为等于0，计算最终值. 在处的瞬时速度等于在处的极限. 9 课堂练习 10 【思考】（1）求运动员在时的瞬时速度； （2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ 计算式子不合理但答案正确，关键在于分子分母没完全算净的情况下相除. 10 课堂练习 【问题2】 抛物线的切线的斜率 如何定义抛物线 在点 处的切线？ T 将点逐渐靠近点，观察割线的位置变化情况. 当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为抛物线 在点 处的切线. 记，则点的坐标是. =2就是在点处的切线的斜率. 11 11 课堂小结 12 梅朝 思想方法：由“平均变