3..1.1椭圆及其标准方程课件和教案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

§3.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时） 广州市番禺区石北中学 姜宝松 一、教学内容 章节引言、椭圆的定义和标准方程 二、教学目标 1．通过复习和章节引言，了解本章的学习路径和学习方法；了解平面截圆锥在不同情况下得到圆、椭圆、双曲线、抛物线；了解圆锥曲线在生产生活中的广泛应用 2．了解椭圆的发展史；用＂两钉一线＂的画法绘制椭圆，得出椭圆的定义，发展数学抽象素养 3．推导出椭圆的标准方程，从中体会求曲线方程的一般方法，并尝试解决简单问题，发展直观想象、数学运算素养 三、教学重点与难点 重点：椭圆的定义和几何特征，椭圆的标准方程 难点：椭圆标准方程的推导 四、教学过程设计 （一）立足总体，建立知识研究路径 引语： 前面我们在平面直角坐标系中，学习了直线和圆的方程及其位置关系。例，建立坐标系后，利用圆上的每一个点到圆心的距离等于半径，化简检验后，得到圆的标准。 除了直线和圆外，还有很多美丽的曲线。它们放在直角坐标系中，有怎样的方程？ 今天我们来学习椭圆 活动1：现实生活中（PPT素材展示）：篮球的影子，倾斜水杯的截面，天体运动的轨迹。 （二）以史为线，重现椭圆认知过程 （1）在古希腊，数学家通过用平面来截取不同的圆锥发现了圆锥曲线。 活动2：视频展示，体会圆锥被平面所截，得到圆锥曲线 （2）公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》，通过严谨的证明，获得了焦半径的性质。即椭圆上的点到两个定点的距离之和为定值。这是椭圆定量分析的重要结论。 （3）公元6世纪，拜占庭数学家安提缪斯提出了“园艺师作图法”，也就是“两钉一线”椭圆法。 活动3：组织学生用纸板画椭圆 展示学生的成果，挑选三幅。让学生提出几间区别，观察结果。 问题1：画图过程中，不变的量有哪些？ 问题2：图钉的位置不变，棉线由长变短， 图形有什么变化? 问题3：绳长不变，图钉间的距离由长变短， 椭圆会怎样变化？ 问题4：研究数学对象的起点是概念和定义：椭圆的定义是？类比圆的定义？ 平面上，到两个定点距离之和为常数 ( ) 的点的轨迹叫做椭圆 其中两个定点叫做椭圆的焦点。（公元17世纪，开普勒提出，太阳系行星的运动轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上） 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为“半焦距”。 问题5：如何根据椭圆的几何特征，选择合适的坐标系，建立椭圆的方程？ 建立曲线方程的一般步骤：建系—条件—转化—化简—检验 活动4：学生尝试合作探究椭圆的标准方程 教师巡查，指导学生。 因为椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是对称轴，所以以点的直线为轴，以点的中垂线为轴，建立直角坐标系。 师生活动：根据学生合作探究情况，展示椭圆标准方程的推导过程。介绍洛必达推导方法。 （4）公元17世纪，法国数学家笛卡儿发明平面直角坐标系。法国数学家洛必达在《圆锥曲线分析》一书中，把椭圆定义为：平面上两定点之和等于常数的动点轨迹，并由此推导出椭圆方程。从此椭圆的方程和及椭圆第一定义就一直沿用下来。（为什么椭圆从发现到研究中间隔了这么久的历史？坐标系的发现是关键） 问题6：化简过程，从到 方程 的推导过程等价吗？ 问题7：根据图象，能从中找到表示 的线段吗？ 问题8：检验。因为化简过程为同解等价变形，所以椭圆上的点的坐标都满足方程，以方程解的解为坐标的点都在椭圆上。 问题9：如果焦点在轴上， 的意义不变，那么椭圆的标准方程是？？ 小结： 若焦点在轴上: （ ） 若焦点在轴上： （ ） 回顾定义，观察方程，体会标准方程的好处？ （三）巩固提高，利用知识解决问题 例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0）并且过点（），求椭圆的标准方程。 分析：求椭圆的标准方程，首先确定焦点位置，再求和, 题目条件中，焦点在X轴上，c=2, 即, 根据定义求出，则可以求出椭圆标准方程。 练习：（课本第109页第2题） 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）,焦点在X轴上； （2）, 焦点在Y轴上； （3） 2. 已知椭圆上一点P与焦点的距离等于6， 那么点P与另一个焦点的距离是 3. 经过椭圆的右焦点作垂直于X轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点。（1）求（2）如果AB不垂直于X轴，的周长有变化吗？为什么？ （四）自我评价，总结课堂收获感悟 本节课你学到的知识有？ 求曲线的方程一般过程是？ 椭圆的发展过程给你的感悟是什么？ （五）分层作业 A组，课本115页第1、2、5题； B组，1.已知为14，顶点B，C的坐标分别为（0，3），（0，-3），则点A轨迹方程为 2.求符合下列条件