2023 年中考数学四点共圆隐圆专题培训

2023学年中考四点共圆/隐圆专题培训 在四边形ABCD中， ①四边形对角互补 或外角等于内对角 ②两个直角三角形共斜边 （同侧或异侧） ③两个三角形共边 对等角/定弦定角 ④定点定长 ∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180° 或∠EBC=∠D ∠C=∠D=90° ∠BAC=∠BDC OA=OB=OC=OD ⑤相交弦定理逆定理 ⑥割线定理逆定理 ⑦托勒密（Ptolemy）定理逆定理 若直线AB与CD相交于P， 而且PA·PB=PC·PD PA·PB=PC·PD 四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和 即：BD·AC=AD·BC+AB·CD 则A，B，C，D四点共圆 类型①：对角互补/外角等于内对角 【例1】如图，已知平行四边形ABCD内有一点P，使得∠APB+∠CPD=180°；求证：∠PAB=∠PCB. 【例2】如图,在四边形ABCD中，已知BA=AD=DC，AC≠BD，AC与BD交于点P，∠ABC+∠BCD=120°，求证：PB=PC. 【练习①】如图，OQ⊥AB，O为圆心.F为直线OQ与AB的交点，BC与OQ交于P点，A、C、Q三点共线，若OP＝1， PQ＝3.则OA＝ . 类型②：两个直角三角形共斜边 【例3】如图,在▱ ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，M,N分别为垂足，求证：△AMN∽△BAC. 【例4】如图,在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,CG⊥BD于点G,求证：∠EGF=2∠ECF. 【练习②】如图，正方形ABCD的面积为5cm2，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，求AP的长. 类型③：定弦定角 【例5】如图,已知D是△ABC内一点，E是AC的中点，AB=6，BC=10，∠BAD=∠BCD，∠EDC=∠ABD，则DE= . 【例6】如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC为对角线，过点D作DF⊥AB，垂足为E，交CB延长线于点F， 若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，则ED= ． 类型④：定点定长 【例7】如图，在DABC 中， ?BAC = 90?，AB=AC=5，点 D 在 AC 上，且 AD = 2 ，点E是AB上的动点，连结 DE ， 点 F ，G分别是BC，DE的中点，连接 AG ， FG ，当AG=FG时，线段 DEED= ． ( 3 )【练习④】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AC＝AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P，若AB＝ 则BD＝ . ，AP＝1， 类型⑤：相交弦定理逆定理 【例8】O为△ABC内一点，BO、CO分别交AC，AB于D、E，若BE·BA+CD·CA=BC2.求证：A、D、O、E四点共圆. 类型⑦：托勒密定理 【例9】已知：如图，设四边形 ABCD 满足条件 AB ? CD + AD ? BC = AC ? BD ,求证：A、B、C、D四点共圆. 证明：作?ECD = ?ACB , ?EBC = ?CAD ,于是DBEC ～ DADC , \ BE = BC ,即 BE ? AC = AD ? BC ① AD AC \ BC = EC ② AC DC Q?1 = ?2 , \DACB ～ DDCE ,\?3 = ?4 , AB = AC ,即 DE ? AC = AB ? DC ,③ DE DC ①+③,得(BE + DE) AC = AD ? BC + AB ? DC . Q AC ? BD = AB ? CD + AD ? BC （已知条件） \ BE + DE = BD \ E 在 BD 上， ?3与?BDC 重合. \?BDC = ?BAC , \ A, B,C, D 四点共圆. 补充：隐圆折叠最值 【练习A】. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN 所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是 ． 【练习B】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将 △CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ． 【练习C】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形 成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是 ． 【练习D】如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，点O、P分别是边AB、AD的中点，点H是边CD上的一个动 点，连接OH，将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边