4.4 数学归纳法（六大考点）-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

4.4数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 一、数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: （1）（归纳奠基）证明当时命题成立; （2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 二、用数学归纳法证明恒等式 （1）弄清取第一个值时等式两端项的情况; （2）弄清从到等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; （3）证明时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝证明目标的表达式变形. 考点01 数学归纳法的概念 1．用数学归纳法证明，第一步应验证 （    ） A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立 C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立 2．用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 3．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 4．用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（    ） A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 考点02 数学归纳法的增项 7．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．2k－1项 D．2k项 8．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　） A． B． C． D． 9．用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 10．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（    ） A．增加了 B．增加了 C．增加了 D．增加了 11．（多选）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 12．用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是 考点03 用数学归纳法证明恒等式 13．用数学归纳法证明：． 14．证明：凸n边形的对角线的条数． 15．用数学归纳法证明：． 16．用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 17．用数学归纳法证明（为正整数）． 考点04 用数学归纳法证明不等式 18．用数学归纳法证明：． 19．证明∶不等式成立. 20．设，且，证明∶. 21．设且，则，当且仅当时等号成立． 22．用数学归纳法证明： 考点05 用数学归纳法证明整除问题 23．用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（    ） A．假设时正确，再推证正确 B．假设时正确，再推证正确 C．假设时正确，再推证正确 D．假设时正确，再推证正确 24．用数学归纳法证明：能被整除（） 25．能被哪些自然数整除？ 26．是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 27．求证：对任何正整数n，数都能被8整除 考点06 数学归纳法与数列 28．用数学归纳法分别证明公差为的等差数列的前项和公式与公比为的等比数列的前项和公式． 29．用数学归纳法证明：若等差数列中，为首项，d为公差，则通项公式为 30．设数列满足，， (1)求，的值，并猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳法证明上述猜想． 31．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 32．已知数列满足尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 基础过关练 1．用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（    ）项 A．7 B．6 C．5 D．4 2．某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 3．用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 4．