4.1数列的概念课件2-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 数列的概念 温故知新 1、数列的有关概念 (1)按确定的顺序排列的一列数叫做数列. (2)数列中的每一个数都叫做数列的项. (3)各项依次叫做这个数列的第1项 (或首项)，常用符号a1表示，第2项，用a2表示…，第n项，用an表示…. (4)数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 温故知新 2、数列的分类 1、以项数来分类： ①有穷数列：项数有限的数列 ②无穷数列：项数无限的数列. 2、以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； (2) 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； (3) 常 数 列：各项都相等的数列； (4) 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 温故知新 3、数列三种表示方法 (1)列表法：列出序号n与项的对应值 (2)解析式(通项公式)法：通项公式表示. 数列的图象表示法 是一群孤立的点 通项公式： 如果数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 数列是一种特殊的函数：通项公式就是an与n之间的函数关系式an=f(n) 数列的几何意义：有穷数列表示有限个孤立的点。 无穷数列表示无限个孤立的点。 解：令n2+2n=120 ， 解得 n=-12(舍)或n=10， 所以 120是数列的项，是第10项。 例题讲解 3、如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 例题讲解 4、下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 解：在以上4个图中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27， 即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是an=3n-1. 换个角度观察图中的4个图形，可以发现， ①a1=1； ②每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形； ③从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍； 这样，例4中的数列的前4项满足 a1=1，a2 =3a1，a3 =3a2，a4 =3a3，由此猜测这个数列满足公式 探究新知 像an=3n-1这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 知道了首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项了. 探究新知 8、递推公式 当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律.如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察. 递推公式也是数列的一种表示方法。 探究新知 5、数列的表示方法 从例题中你发现数列有那些表示方法？ (1) 列表法 (列出序号n与项的对应值) (4)递推公式法 (2) 图像法 (一系列孤立的点) (3) 通项公式法(解析法)：an=f(n) 例题讲解 5、已知数列的第1项是1，以后的各项由公式 给出，写出这个数列的前5项. 解：a1=1 通项公式和递推公式之间的差别与联系： 通项公式 可以确定数列 递推公式 项an是序号n的函数an=f(n) 已知a1及相邻项间的关系 区别 联系 联系 随堂练习 1、根据递推公式，分别写出它的前 5 项，并归纳出通项公式： (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； (2)a1＝1， 解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4，a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16. 由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可归纳出an＝(n－1)2. (2)a1＝1， 随堂练习 2、在数列{an}中， (1)求数列{an}的前5项 (2)求a2021 (2)周期为3，2021=3×673+2，所以a2021=a3×673+2=a2=-1。 随堂练习 3、在数列{an}中， (1)求a2，a3，a4； (2)猜想{an}的通项公式 解：(1)a2=2+ln2 a3=2+ln3 a4=2+ln4 (2)an=2+lnn 探究新知 9、数