专题4.1 指数运算与指数函数-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（湖北专用）

4.1 指数运算与指数函数 考点梳理 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1.这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6) 有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 3．幂函数 （1）定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数y＝xα(α∈R) 图象 α＞0 α＜0 性 质 (1)图象过点(0，0)和(1，1) 图象过点(1，1) (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数 (3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸 4．指数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数 图 象 a＞1 0＜a＜1 定义域 R　 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 在R上是增函数 在R上是减函数 典例精讲 例1．已知实数a，，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 例3．已知函数，则（    ） A． B． C．3 D． 例4．（），则b等于（    ） A． B．34 C．43 D．35 例5．（    ） A． B．2 C． D． 例6．幂函数的图象经过点，则实数（    ） A．2 B． C． D． 例7．化简求值： (1) (2) 例8．设，则（    ） A． B． C． D． 例9．已知指数函数的图象经过点，求和． 例10．求下列函数的定义域与值域： (1)；(2). 例11．比较下列各题中两个数的大小 (1)，； (2)，． 例12．已知函数在上的最小值是，最大值是，求的值. 例13.已知幂函数经过． (1)试求函数的解析式； (2)写出函数的单调区间． 例14.已知指数函数（，且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 例15.按复利计算利息的一种储蓄，本金为a(单位：元)，每期利率为r，本利和为y(单位：元)，存期数为x. （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄. 例16.函数的定义域为. （1）设，求t的取值范围； （2）求函数的值域. 大展身手 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是（ ） A． B． C． D． 4．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5.已知函数为幂函数，则（    ） A．或2 B．2 C． D．1 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．计算： (1)； (2). 8.已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）． (1)求f（x）的解析式； (2)若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围． 9．已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值． 10.如图，某城市人口呈指数增长. （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多人少万人？ 11.已知幂函数的图像关于y轴对称